Formulario Esencial de Estadística Inferencial: Pruebas de Hipótesis, Distribuciones y Demografía

Fórmulas Fundamentales para Pruebas de Hipótesis

Pruebas Z (Varianza Poblacional Conocida o Muestra Grande)

Z para Proporciones

Fórmula: $Z = \frac{p - \pi}{\sqrt{\frac{\pi(1-p)}{n}}}$

• Tipo de Variable: Cualitativa (Nominal/Ordinal).
• Distribución: Normal.
• Concepto: Variable aleatoria.

Z para una Media

Fórmula: $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

• Tipo de Variable: Cuantitativa (Intervalo/Razón).
• Distribución: Normal.
• Condición: $\sigma$ (desviación estándar poblacional) conocida.

Z para Dos Medias Independientes

Fórmula: $Z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

• Tipo de Variable: Cuantitativa.
• Distribución: Normal.
• Condición: $\sigma$ (desviación estándar poblacional) conocida.

Errores en la Decisión de Hipótesis

• ERROR Tipo I ($\alpha$): Rechazar la Hipótesis Nula ($H_0$) cuando es Verdadera.
• ERROR Tipo II ($\beta$): Aceptar la Hipótesis Nula ($H_0$) cuando es Falsa.
• Relación con $\alpha$: Un menor valor de $\alpha$ implica un menor riesgo de cometer el Error Tipo I.

Pruebas T de Student (Varianza Poblacional Desconocida)

T para una Media

Fórmula: $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$

• Tipo de Variable: Cuantitativa (Intervalo/Razón).
• Distribución: T de Student (aproximación a la Normal).
• Condición: $\sigma$ desconocida.

T para Dos Medias Independientes (Varianza Combinada)

Fórmula: $T = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{S_p^2}{n_1} + \frac{S_p^2}{n_2}}}$

Donde la Varianza Combinada ($S_p^2$) es:

$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

Grados de Libertad (gl): $gl = n_1 + n_2 - 2$.

T para Dos Medias Pareadas

Fórmula: $T = \frac{\bar{D} - \mu_D}{S_D / \sqrt{n}}$ (Donde $\mu_D$ generalmente es 0)

• Condiciones: Muestra pequeña (generalmente $n < 30$), distribución normal, datos pareados, $\sigma$ desconocida.
• Hipótesis Comunes (Ejemplo Unilateral):
  • $H_0: \mu_{\text{antes}} \le \mu_{\text{después}}$
  • $H_1: \mu_{\text{antes}} > \mu_{\text{después}}$
  • (Equivalente a $H_0: \mu_{\text{diferencia}} \le 0$; $H_1: \mu_{\text{diferencia}} > 0$)

Prueba Chi Cuadrado ($\chi^2$)

Aplicación: Variables Cualitativas (Nominal/Ordinal), datos de frecuencia, muestra grande, distribución bivariada.

Fórmula: $\chi^2 = \sum \frac{(\text{Observada} - \text{Esperada})^2}{\text{Esperada}}$

Cálculo de Frecuencia Esperada (E): $E = \frac{\text{Total Fila} \times \text{Total Columna}}{\text{Total Datos}}$

Tipos de Pruebas $\chi^2$

1. Bondad de Ajuste: Verifica si una distribución observada se ajusta a una distribución teórica o esperada.
   • $H_0$: La distribución observada se ajusta a la esperada.
2. Independencia: Se utiliza con 1 muestra para buscar asociación entre dos variables.
   • $H_0$: Hay independencia entre la Variable A y la Variable B.
   • $H_1$: No hay independencia (existe asociación).
3. Homogeneidad: Se utiliza con 2 o más muestras, donde el total marginal es fijo y aleatorio. Compara si las poblaciones son similares respecto a un criterio de clasificación.
   • $H_0$: Las poblaciones son homogéneas respecto al criterio de clasificación.
   • $H_1$: Las poblaciones no son homogéneas.

Correcciones para $\chi^2$

• Corrección de Yates: Se aplica cuando la frecuencia Esperada es menor a 5. Se utiliza para evitar el Error Tipo I.
• Prueba Exacta de Fisher: Se utiliza cuando las frecuencias son menores a 5 y las condiciones de $\chi^2$ no se cumplen. Calcula la probabilidad exacta de obtener la tabla observada (distribución hipergeométrica), sin aproximaciones.

Indicadores Demográficos Clave

• Tasa Bruta: Se calcula para la población total.
• Tasa de Natalidad: $(\frac{\text{Nacimientos}}{\text{Población Total}}) \times 1000$. Se considera alta si es $> 30$, moderada entre $15-30$, y baja si es $< 15$.
• Tasa de Mortalidad: $(\frac{\text{Defunciones}}{\text{Población Total}}) \times 1000$.
• Fertilidad: Capacidad biológica de ser fértil.
• Fecundidad: Capacidad de reproducirse (medida por nacimientos).
• Tasa de Fecundidad General: $(\frac{\text{Nacimientos}}{\text{Mujeres de 15-49 años}}) \times 1000$.
• Tasa de Fecundidad Específica: Se calcula por grupos de edad (generalmente en intervalos de 5 años).
• Tasa de Reemplazo Poblacional: La tasa de fecundidad debe ser $\ge 2.1$ para asegurar el reemplazo generacional.

Correlación y Significancia

Coeficiente de Correlación (r)

• Nula: $r = 0$.
• Débil: $0 < |r| \le 0.3$.
• Moderada: $0.3 < |r| \le 0.7$.
• Fuerte: $|r| > 0.7$.
• Perfecta: $|r| = 1$ ($-1$ o $1$).
• Dirección: Positiva ($0 < r \le 1$), Negativa ($-1 \le r < 0$).
• Relación: Directa (D+) si $r > 0$; Inversa (I-) si $r < 0$.
• Sin Correlación: Un patrón desordenado implica $r = 0$.
• Método Común: Correlación de Pearson (asume distribución normal).

Criterios de Significancia Estadística

Una prueba es estadísticamente significativa si:

• El valor calculado (cal) es mayor que el valor tabulado (crit. unilateral, columna D).
• El valor calculado (cal) es menor que el valor crítico (crit. unilateral, columna IZ).
• El valor calculado (cal) es mayor que el valor crítico bilateral (crit. bilateral, 2 columnas).

Índice de Desarrollo Humano (IDH) y Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS)

Índice de Desarrollo Humano (IDH)

El IDH se calcula a partir de la combinación de tres dimensiones clave:

1. Esperanza de Vida (Salud/Mortalidad).
2. Producto Interno Bruto (PIB).
3. Nivel Educativo.

Los 17 Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS)

1. Fin de la Pobreza.
2. Hambre Cero.
3. Salud y Bienestar.
4. Educación de Calidad.
5. Igualdad de Género.
6. Agua Limpia y Saneamiento.
7. Energía Asequible y No Contaminante.
8. Trabajo Decente y Crecimiento Económico.
9. Industria, Innovación e Infraestructura.
10. Reducción de las Desigualdades.
11. Ciudades y Comunidades Sostenibles.
12. Producción y Consumo Responsables.
13. Acción por el Clima.
14. Vida Submarina.
15. Vida de Ecosistemas Terrestres.
16. Paz, Justicia e Instituciones Sólidas.
17. Alianzas para lograr los Objetivos.