Formulario Esencial de Matemática Financiera: Rentas, Préstamos y Tasas de Interés

Rentas Constantes

Las rentas constantes son flujos de pagos o cobros iguales que se realizan a intervalos regulares.

1. Rentas Temporales Postpagables

• Valor Actual (V₀): V₀ = a · [(1 - (1+i)^-n) / i]
• Valor Final (S_f): S_f = a · [((1+i)ⁿ – 1) / i]

2. Rentas Temporales Prepagables

• Valor Actual (Ä): Ä = a(1+i)[(1-(1+i)^-n)/i] = (1+i)V₀
• Valor Final (¨S_f): ¨S_f = a(1+i)[((1+i)ⁿ–1)/i] = (1+i)S_f

3. Rentas Perpetuas

Rentas Perpetuas Postpagables

• Valor Actual (A_∞): A_∞ = a · (1/i)

Rentas Perpetuas Prepagables

• Valor Actual (Ä_∞): Ä_∞ = a · [1 + (1/i)]

4. Rentas Diferidas

Las rentas diferidas son aquellas cuyo primer pago o cobro se realiza después de un período de gracia (h).

a) Diferidas Postpagables

• Valor Actual (^h/V): ^h/V = (1+i)^-h V₀ = (1+i)^-h a · [(1 - (1+i)^-n) / i]
• Valor Final (^h/S_f): ^h/S_f = (1+i)^h+n (1+i)^-h a · [1 - (1+i)^-n / i]

b) Diferidas Prepagables

• Valor Actual (^h/Ä): ^h/Ä = (1+i)^-h (1+i) a · [(1 - (1+i)^-n) / i]
• Valor Final (^h/¨S_f): ^h/¨S_f = (1+i)^h+n (1+i)^-h (1+i) a · [1 - (1+i)^-n / i]

c) Diferidas Perpetuas Postpagables

• Valor Actual (^h/A_∞): ^h/A_∞ = (1+i)^-h a · (1/i)

d) Diferidas Perpetuas Prepagables

• Valor Actual (^h/Ä_∞): ^h/Ä_∞ = (1+i)^-h a · [1 + (1/i)]

Rentas Variables en Progresión Geométrica

Rentas cuyos términos varían en progresión geométrica.

1. Rentas Variables Postpagables

• Valor Actual (A(a₁,q)): A(a₁,q) = a₁ · [1 - (q/(1+i))ⁿ] / [(1+i) – q]
• Valor Final (S(a₁,q)): S(a₁,q) = a₁ · [(1+i)ⁿ – qⁿ] / [(1+i) - q]

2. Rentas Variables Prepagables

• Valor Actual (Ä(a₁,q)): Ä(a₁,q) = (1+i) A(a₁,q)
• Valor Final (¨S(a₁,q)): ¨S(a₁,q) = (1+i) S(a₁,q)

3. Rentas Variables Perpetuas

Rentas Variables Perpetuas Postpagables

• Valor Actual (A(a₁,q)_∞): A(a₁,q)_∞ = a₁ · [1 / ((1+i) – q)]

Rentas Variables Perpetuas Prepagables

• Valor Actual (Ä(a₁,q)_∞): Ä(a₁,q)_∞ = (1+i) a₁ · [1 / ((1+i) - q)]

4. Rentas Variables Diferidas

a) Diferidas Postpagables

• Valor Actual (^h/A(a₁,q)): ^h/A(a₁,q) = (1+i)^-h A(a₁,q)
• Valor Final (^h/S(a₁,q)): ^h/S(a₁,q) = (1+i)ⁿ A(a₁,q) = S(a₁,q)

b) Diferidas Prepagables

• Valor Actual (^h/Ä(a₁,q)): ^h/Ä(a₁,q) = (1+i)^-h Ä(a₁,q)
• Valor Final (^h/¨S(a₁,q)): ^h/¨S(a₁,q) = ^h/¨S(a₁,q)

c) Diferidas Perpetuas Postpagables

• Valor Actual (^h/A(a₁,q)_∞): ^h/A(a₁,q)_∞ = (1+i)^-h a₁ · [1 / ((1+i) - q)]

d) Diferidas Perpetuas Prepagables

• Valor Actual (^h/Ä(a₁,q)_∞): ^h/Ä(a₁,q)_∞ = (1+i)^-h a₁ · [1 / ((1+i) - q)]

Rentas Mixtas

Con salto geométrico al final del año (constantes fraccionadas dentro del año):

Anualidad Ficticia

a = k · a/k · q^n-1

Anualidad Real

X₁ = (k · a/k) · (i/j_k) · q^n-1

1. Rentas Mixtas Postpagables

• Valor Actual (A^(k)(k · a/k, q)): A^(k)(k · a/k, q) = (i/j_k) · [(k · a/k) · [(1 - (q/(1+i))ⁿ) / ((1+i) - q)]]
• Valor Final (S^(k)(k · a/k, q)): S^(k)(k · a/k, q) = (i/j_k) · [(k · a/k) · [((1+i)ⁿ - 1) / ((1+i) - q)]]

2. Rentas Mixtas Prepagables

• Valor Actual (Ä^(k)(k · a/k, q)): Ä^(k)(k · a/k, q) = (1+i)^1/k A^(k)(k · a/k, q)
• Valor Final (¨S^(k)(k · a/k, q)): ¨S^(k)(k · a/k, q) = (Ä^(k)(k · a/k, q)) · (1+i)ⁿ

Interés y Tasa Anual Equivalente (TAE)

Definiciones y fórmulas para el cálculo de intereses y tasas.

• i₄: trimestral
• i₃: cuatrimestral
• j_k = k · i_k
• i = (1+i_k)^k - 1
• i_k = (1+i)^1/k - 1
• i₁₂ = (1+i₆)^6/12 - 1

Capitalización Compuesta

• Capital Final (C_n): C_n = C₀(1+i)ⁿ
• Capital Final con Interés Fraccionado (C_{n x k}): C_{n x k} = C₀(1+i_k)^{n x k}
• Tasa de Interés (i): i = e^{(ln C_n - ln C₀)/n} - 1
• Número de Períodos (n): n = log(C_n/C₀) / log(1+i)

Capitalización Simple y Descuento

Capitalización Simple

• Capital Final (C_n): C_n = C₀(1+ni)
• Tasa de Interés (i): i = (C_n - C₀) / (C₀ · n)

Descuento

• Tasa de Descuento Financiero (d_ff): d_ff = (∑Dc + ∑Com + ∑G) / ∑Nºcom
• Descuento Comercial (Dc): Dc = N - Vd = Ntd
• Comisión (Com): Com = N · c
• Número de Comisiones (Nºcom): Nºcom = N · t
• Tasa de Interés (i): i = d_f / (1 - n · d_f)
• Valor Descontado (Vd): Vd = N · (1 - n · d) (Utilizar para Vc y Vm en tabla)
• Valor Contable (Vc): N_c(1 - Vc · d_f) = ∑Vd
• Valor de Mercado (Vm): ∑N(1 - Vm · d_f) = ∑Vd

Préstamos

Fórmulas y conceptos clave para la amortización de préstamos.

Fórmula General del Capital Inicial (C₀): C₀ = a · [(1 - (1+i)^-n) / i]

• C_j: Capital vivo (pendiente)
• M_j: Capital amortizado
• I_j: Cuota de interés
• A_j: Cuota de amortización

Método Prospectivo

• Capital Vivo (C_j): C_j = a · [(1 - (1+i)^-(n-j)) / i]

Método Retrospectivo

• Capital Vivo (C_j): C_j = C₀(1+i)ⁿ - a · [((1+i)^j - 1) / i]

Cálculo en Tabla de Amortización

• Capital Vivo (C_j): C_j = C_j-1(1+i) - a
• Capital Final: C_n = 0
• 1º) Cuota de Interés (I_j): I_j = C_j-1 · i
• 2º) Cuota de Amortización (A_j): A_j = a_j - I_j = C_j-1 - C_j = A_j-1 · (1+i) = a - C_j-1 · i = A₁(1+i)^j-1
  ∑A_j = C₀
• 3º) Capital Amortizado Acumulado (M_j): M_j = M_j-1 + A_j = C₀ - C_j
  M_n = C₀

Préstamos con Carencia

Préstamos que incluyen un período inicial sin amortización o sin pago de intereses.

a) Carencia Parcial

• Cuota (a_h): a_h = I_h = C₀ · i (h: años de carencia, desde 1 hasta s)
• Amortización y Capital Amortizado: A = M = 0

b) Carencia Total

• Cuotas: I_h = a_h = A_h = M_h = 0
• Capital Vivo (C_h): C_h = C₀(1+i)^h
• Capital Amortizado Final (M_n): M_n = C_h

Reembolso Anticipado

• Nuevo Capital Vivo (C'_j): C'_j = C_j - R_j
• Nuevo Capital Inicial (C'₀): C'₀ = C'_j