Formulario Esencial de Matemáticas: Cálculo, Geometría, Álgebra y Trigonometría

Derivadas: Reglas Básicas y Compuestas

Reglas de Derivación Básicas

• Derivada de una constante: k' = 0
• Derivada de k·x: (k·x)' = k
• Derivada de x: x' = 1
• Derivada de una potencia: (xⁿ)' = n·x^n-1
• Derivada de una suma/resta: (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)
• Derivada de un producto: (f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
• Derivada de un cociente: (f(x)/g(x))' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)] / [g(x)]²
• Derivada de la raíz cuadrada: (√x)' = 1 / (2·√x)
• Derivada del logaritmo neperiano: (ln x)' = 1/x
• Derivada del logaritmo base a: (log_ax)' = (1/x)·log_ae = 1 / (x · ln a)
• Derivada de la exponencial e^x: (e^x)' = e^x
• Derivada de la exponencial a^x: (a^x)' = a^x·ln a
• Derivada del seno: (sen x)' = cos x
• Derivada del coseno: (cos x)' = -sen x
• Derivada de la tangente: (tg x)' = 1/cos²x = sec²x = 1 + tg²x

Regla de la Cadena (Derivadas de Funciones Compuestas)

• Potencia de una función: [fⁿ(x)]' = n·f^n-1(x)·f'(x)
• Raíz n-ésima de una función: [ⁿ√f(x)]' = f'(x) / [n·ⁿ√f^n-1(x)]
• Raíz cuadrada de una función: [√f(x)]' = f'(x) / [2·√f(x)]
• Logaritmo neperiano de una función: [ln f(x)]' = f'(x) / f(x)
• Logaritmo base a de una función: [log_af(x)]' = [f'(x) / f(x)] · log_ae = f'(x) / [f(x) · ln a]
• Exponencial e^f(x): [e^f(x)]' = e^f(x)·f'(x)
• Exponencial a^f(x): [a^f(x)]' = a^f(x)·f'(x)·ln a
• Seno de una función: [sen f(x)]' = cos f(x)·f'(x)
• Coseno de una función: [cos f(x)]' = -sen f(x)·f'(x)
• Tangente de una función: [tg f(x)]' = f'(x) / cos²f(x) = f'(x) · sec²f(x)

Límites y Asíntotas

Definición de Derivada (mediante límite)

Ejemplo en x=2: f'(2) = lim _h→0 [f(2+h) - f(2)] / h

Asíntotas

• Asíntota Vertical (AV): Ocurre en x=a si el límite cuando x tiende a 'a' es infinito. Buscar valores que anulan el denominador. Ejemplo: en f(x) = 1/(x-2), la AV es x=2.
• Asíntota Horizontal (AH): Ocurre si el límite cuando x tiende a ±∞ es un número finito 'L'. La AH es y=L. En funciones racionales P(x)/Q(x): si grado(P) ≤ grado(Q).
• Asíntota Oblicua (AO): Ocurre si no hay AH y el límite de f(x)/x cuando x tiende a ±∞ es un número finito 'm' (pendiente), y el límite de f(x)-mx es 'n' (ordenada en el origen). La AO es y=mx+n. En funciones racionales P(x)/Q(x): si grado(P) = grado(Q) + 1.

Límites en el Infinito (Funciones Racionales P(x)/Q(x))

Cuando x → ±∞

• Si grado(P) = grado(Q): El límite es el cociente de los coeficientes líderes.
• Si grado(P) > grado(Q): El límite es ±∞ (depende de los signos).
• Si grado(P) < grado(Q): El límite es 0.

Geometría Analítica

Distancias

• Distancia entre dos puntos P(a₁, a₂) y Q(b₁, b₂):
  d(P, Q) = √[(b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)²]
• Distancia de un punto P(p₁, p₂) a una recta r: Ax + By + C = 0:
  d(P, r) = |A·p₁ + B·p₂ + C| / √(A² + B²)

Puntos

• Punto medio de un segmento con extremos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂):
  M = [(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]
• Punto simétrico de P respecto a una recta r:
  1. Hallar la recta s, perpendicular a r que pasa por P.
  2. Calcular el punto de corte M entre r y s (resolviendo el sistema).
  3. M es el punto medio del segmento PP', donde P' es el simétrico buscado. Aplicar la fórmula del punto medio para hallar P'.

Rectas

Pendiente (m)

• Si se conoce el vector director v=(v₁, v₂): m = v₂ / v₁
• Si se conoce la ecuación general Ax + By + C = 0: m = -A / B
• Si se conoce el ángulo de inclinación α: m = tg α

Ecuaciones de la Recta

Sea un punto P(x₁, y₁) y un vector director v=(v₁, v₂):

• Vectorial: (x, y) = (x₁, y₁) + λ·(v₁, v₂)
• Paramétricas:
  x = x₁ + λ·v₁
  y = y₁ + λ·v₂
• Continua: (x - x₁) / v₁ = (y - y₁) / v₂
• General o Implícita: Ax + By + C = 0 (donde A = v₂, B = -v₁)
• Explícita: y = mx + n (donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen)
• Punto-Pendiente: y - y₁ = m(x - x₁)

Ángulo entre dos rectas

Si r: Ax + By + C = 0 y r': A'x + B'y + C' = 0:

cos α = |A·A' + B·B'| / [√(A² + B²) · √(A'² + B'²)]

Vectores en el Plano

• Producto Escalar: Si a = (a₁, a₂) y b = (b₁, b₂), entonces a · b = a₁·b₁ + a₂·b₂
• Módulo de un vector: |a| = √(a₁² + a₂²)
• Ángulo entre dos vectores: a · b = |a| · |b| · cos α
• Combinación Lineal: Un vector w es combinación lineal de u y v si existen escalares k₁, k₂ tales que w = k₁·u + k₂·v.
• Módulo de la suma/resta: |a ± b|² = |a|² + |b|² ± 2(a·b)

Números Complejos

Sea z = a + bi

• Opuesto: -z = -a - bi (Ej: opuesto de -3+2i es 3-2i)
• Conjugado: z̄ = a - bi (Ej: conjugado de -3+2i es -3-2i)
• Afijo: Representación gráfica del número complejo como un punto (a, b) en el plano complejo.

Operaciones en Forma Binómica

• Suma/Resta: z ± z' = (a ± a') + (b ± b')i
• Multiplicación: z · z' = (a + bi)(a' + b'i) = (aa' - bb') + (ab' + ba')i
• División: z / z' = (z · z̄') / (z' · z̄') = (z · z̄') / |z'|²

Forma Polar y Trigonométrica

• Forma Polar: z = r_α
• Módulo: r = |z| = √(a² + b²)
• Argumento: α = arctan(b/a) (ajustar cuadrante según signos de a y b)
• Forma Trigonométrica: z = r(cos α + i sen α)
• Nota: La suma/resta no se realiza directamente en forma polar.

Operaciones en Forma Polar

• Multiplicación: r_α · R_β = (r·R)_α+β
• División: r_α / R_β = (r/R)_α-β
• Potenciación (Fórmula de Moivre): (r_α)ⁿ = (rⁿ)_n·α
• Radicación: ⁿ√R_β = ⁿ√R _{(β + 360°k)/n}, donde k = 0, 1, 2, ..., n-1 (se obtienen n raíces distintas).

Trigonometría

Relaciones Fundamentales (RF)

• sen²α + cos²α = 1
• tg α = sen α / cos α
• 1 + tg²α = sec²α = 1 / cos²α
• 1 + cotg²α = cosec²α = 1 / sen²α

Reducción al Primer Cuadrante

• Segundo Cuadrante (180° - α): sen(180°-α) = sen α; cos(180°-α) = -cos α; tg(180°-α) = -tg α
• Tercer Cuadrante (180° + α): sen(180°+α) = -sen α; cos(180°+α) = -cos α; tg(180°+α) = tg α
• Cuarto Cuadrante (360° - α o -α): sen(360°-α) = -sen α; cos(360°-α) = cos α; tg(360°-α) = -tg α

Teoremas del Triángulo

• Teorema del Seno: a / sen A = b / sen B = c / sen C
• Teorema del Coseno:
  • a² = b² + c² - 2bc·cos A
  • b² = a² + c² - 2ac·cos B
  • c² = a² + b² - 2ab·cos C

Fórmulas de Suma y Resta de Ángulos

• sen(α ± β) = sen α · cos β ± cos α · sen β
• cos(α ± β) = cos α · cos β ∓ sen α · sen β
• tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α · tg β)

Fórmulas del Ángulo Doble

• sen(2α) = 2 · sen α · cos α
• cos(2α) = cos²α - sen²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sen²α
• tg(2α) = (2 tg α) / (1 - tg²α)

Fórmulas del Ángulo Mitad

• sen(α/2) = ±√[(1 - cos α) / 2]
• cos(α/2) = ±√[(1 + cos α) / 2]
• tg(α/2) = ±√[(1 - cos α) / (1 + cos α)] = sen α / (1 + cos α) = (1 - cos α) / sen α

Nota: El signo ± en las fórmulas del ángulo mitad depende del cuadrante en el que se encuentre α/2.