Formulario Matemático Esencial: Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica

Errores y Aproximaciones

Error Absoluto

El error absoluto (e) es la diferencia en valor absoluto entre el valor real (r) y el valor aproximado (p):

e = |r - p|

Error Relativo

El error relativo (e_r) es el cociente entre el error absoluto (e) y el valor absoluto del valor real (r), asumiendo r ≠ 0:

e_r = e / |r| = |r - p| / |r|

Álgebra

Identidades Notables

• Suma por diferencia: (A + B)(A - B) = A² - B²
• Cuadrado de una suma: (A + B)² = A² + 2AB + B²
• Cuadrado de una diferencia: (A - B)² = A² - 2AB + B²

Teorema del Resto

Al dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), el resto (r) de la división es igual al valor numérico del polinomio para x = a.

P(x) = (x - a) • C(x) + r

Donde C(x) es el cociente. Sustituyendo x por a:

P(a) = (a - a) • C(a) + r = 0 • C(a) + r = r

Ecuación Bicuadrada

Una ecuación bicuadrada tiene la forma:

ax⁴ + bx² + c = 0

Se resuelve haciendo el cambio de variable z = x², lo que la transforma en una ecuación cuadrática: az² + bz + c = 0.

Trigonometría

Razones Trigonométricas de Ángulos Notables

Valores del seno, coseno y tangente para los ángulos de 30º, 60º y 45º.

Identidades Trigonométricas Fundamentales

• sen²α + cos²α = 1
• tgα = senα / cosα

Relaciones entre Ángulos

Ángulos Complementarios (α y 90º - α)

• senα = cos(90º - α)
• cosα = sen(90º - α)
• tgα = cotg(90º - α)

Ángulos Suplementarios (α y 180º - α)

• senα = sen(180º - α)
• cosα = -cos(180º - α)
• tgα = -tg(180º - α)

Ángulos Opuestos (α y - α)

• senα = -sen(-α) (o sen(-α) = -senα)
• cosα = cos(-α)
• tgα = -tg(-α) (o tg(-α) = -tgα)

Teoremas del Triángulo

Teorema del Seno

En cualquier triángulo, la razón entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante:

a / senA = b / senB = c / senC

Teorema del Coseno

En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman:

• a² = b² + c² - 2bc cosA
• b² = a² + c² - 2ac cosB
• c² = a² + b² - 2ab cosC

Geometría Analítica

Vectores

• Coordenadas del vector determinado por dos puntos: Dados los puntos A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂), el vector AB tiene coordenadas:
  AB = (b₁ - a₁, b₂ - a₂)
• Módulo de un vector: Dado un vector u = (u₁, u₂), su módulo es:
  |u| = √(u₁² + u₂²)
• Distancia entre dos puntos: La distancia entre los puntos A y B es el módulo del vector AB:
  d(A, B) = |AB| = √((b₁ - a₁)² + (b₂ - a₂)²)
• Punto medio de un segmento: Las coordenadas del punto medio M del segmento de extremos A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂) son:
  M = ((a₁ + b₁) / 2, (a₂ + b₂) / 2)

Rectas

• Pendiente de una recta (m): Es la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje horizontal positivo. Si u = (u₁, u₂) es un vector director de la recta:
  m = tgα = u₂ / u₁ (si u₁ ≠ 0)
• Ecuación vectorial: Si A(a₁, a₂) es un punto de la recta y u = (u₁, u₂) es un vector director, la ecuación vectorial es (donde X(x, y) es un punto genérico):
  OX = OA + tu, con t ∈ ℝ
  (x, y) = (a₁, a₂) + t(u₁, u₂)
• Ecuaciones paramétricas: Desglosando la ecuación vectorial por coordenadas:
  x = a₁ + tu₁
  y = a₂ + tu₂
• Ecuación continua: Despejando t en las ecuaciones paramétricas (si u₁, u₂ ≠ 0):
  (x - a₁) / u₁ = (y - a₂) / u₂
• Ecuación punto-pendiente: Si se conoce un punto A(x₁, y₁) y la pendiente m:
  y - y₁ = m(x - x₁)
  (Usando la notación A(a₁, a₂): y - a₂ = m(x - a₁))
• Ecuación implícita o general: Tiene la forma:
  Ax + By + C = 0

Funciones

Propiedades de las Funciones

• Simetría:
  • Una función f(x) es par si su gráfica es simétrica con respecto al eje de ordenadas (eje Y): f(-x) = f(x)
  • Una función f(x) es impar si su gráfica es simétrica con respecto al origen de coordenadas: f(-x) = -f(x)
• Tasa de Variación (TV) en un intervalo: La tasa de variación de una función f en un intervalo [x₁, x₂] es la diferencia entre los valores de la función en los extremos del intervalo:
  TV[x₁, x₂] = f(x₂) - f(x₁)
• Tasa de Variación Media (TVM) en un intervalo: La tasa de variación media de una función f en un intervalo [x₁, x₂] (con x₁ ≠ x₂) es el cociente entre la tasa de variación y la longitud del intervalo:
  TVM[x₁, x₂] = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁)

Tipos de Funciones

Función Afín (Lineal)

• Expresión: f(x) = ax + b, donde a y b son números reales (∈ ℝ).
• Pendiente: El coeficiente a indica la pendiente de la recta.
• Ordenada en el origen: El término independiente b indica el punto donde la recta corta al eje Y (0, b).
• Obtención de la expresión a partir de dos puntos: Dados dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂):
  1. Calcula la pendiente: a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
  2. Sustituye las coordenadas de uno de los puntos (por ejemplo, x₁, y₁) y el valor de a en la ecuación y = ax + b:
     y₁ = a • x₁ + b
  3. Despeja b.

Función Cuadrática (Parábola)

• Expresión: f(x) = ax² + bx + c (con a ≠ 0). Su gráfica es una parábola.
• Eje de simetría: Es la recta vertical que pasa por el vértice: x = -b / (2a)
• Vértice: Es el punto mínimo (si a > 0) o máximo (si a < 0) de la parábola. Sus coordenadas son:
  V = (-b / (2a), f(-b / (2a)))
• (Para dibujarla, se recomienda calcular el vértice, los puntos de corte con los ejes y construir una tabla de valores simétrica respecto al eje.)