Fórmulas Clave de Matemática Financiera: Rentas, Interés y Amortización
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Valor Final de Rentas Constantes Vencidas
La renta constante vencida es una serie de pagos iguales realizados al final de cada período. Su valor final (S_n) se calcula sumando los valores futuros de cada pago.
S_n = C(1+i)^(n-1) + C(1+i)^(n-2) + ... + C(1+i)^2 + C(1+i) + C
Reordenando la serie:
S_n = C + C(1+i) + C(1+i)^2 + ... + C(1+i)^(n-2) + C(1+i)^(n-1)
Factorizando C, obtenemos una progresión geométrica:
S_n = C * [1 + (1+i) + (1+i)^2 + ... + (1+i)^(n-1)]
Sumando los términos de la progresión geométrica (donde a = 1, q = (1+i) y hay n términos):
S_n = C * [a * (q^n - 1) / (q - 1)]
Sustituyendo los valores:
S_n = C * [1 * ((1+i)^n - 1) / ((1+i) - 1)]
Simplificando, la fórmula del valor final de una renta constante vencida es:
S_n = C * ((1+i)^n - 1) / i
Valor Final de Rentas Constantes Adelantadas
La renta constante adelantada implica pagos iguales realizados al inicio de cada período. Su valor final (S'_n) es el valor final de una renta vencida capitalizado por un período adicional.
S'_n = C(1+i)^n + C(1+i)^(n-1) + ... + C(1+i)^2 + C(1+i)
Reordenando la serie:
S'_n = C(1+i) + C(1+i)^2 + ... + C(1+i)^(n-1) + C(1+i)^n
Factorizando C:
S'_n = C * [(1+i) + (1+i)^2 + ... + (1+i)^n]
Aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica (o multiplicando la fórmula de la renta vencida por (1+i)):
S'_n = C * (1+i) * ((1+i)^n - 1) / i
Valor Final de Rentas Sub-Vencidas
Este tipo de renta se refiere a pagos realizados con una frecuencia diferente a la de capitalización del interés, o pagos múltiples dentro de un período de capitalización. Si m es el número de capitalizaciones por período y los pagos son anuales, o si los pagos son m veces al año y la tasa i es anual capitalizable m veces.
S_nm = C(1+i/m)^((n-1)m) + C(1+i/m)^((n-2)m) + ... + C(1+i/m)^(2m) + C(1+i/m)^m + C
Reordenando la serie:
S_nm = C + C(1+i/m)^m + C(1+i/m)^(2m) + ... + C(1+i/m)^((n-1)m)
Factorizando C, obtenemos una progresión geométrica con razón (1+i/m)^m y n términos:
S_nm = C * [1 + (1+i/m)^m + (1+i/m)^(2m) + ... + (1+i/m)^((n-1)m)]
La fórmula del valor final es:
S_nm = C * (((1+i/m)^(nm) - 1) / ((1+i/m)^m - 1))
Valor Actual de Rentas Constantes Vencidas
El valor actual (A_n) de una renta constante vencida representa el valor presente de una serie de pagos futuros iguales, realizados al final de cada período. Para extraer pagos hasta el momento de valuación, se descuentan los pagos futuros.
A_n = C*v + C*v^2 + ... + C*v^(n-1) + C*v^n (donde v = (1+i)^-1)
Reordenando la serie:
A_n = C * [v + v^2 + ... + v^(n-1) + v^n]
Factorizando C y sumando los términos de la progresión geométrica:
A_n = C * [v * (1 - v^n) / (1 - v)]
Sustituyendo v = (1+i)^-1 y simplificando, la fórmula del valor actual de una renta constante vencida es:
A_n = C * (1 - (1+i)^-n) / i
O, alternativamente, derivado de S_n * V^n:
A_n = C * ((1+i)^n - 1) / ((1+i)^n * i)
Imposiciones a Interés Simple: Valor Final Vencido
Esta sección describe el valor final de una serie de imposiciones (pagos) bajo un régimen de interés simple, donde los intereses se calculan sobre el capital inicial de cada imposición y no se capitalizan.
El valor final (VF) de m imposiciones de α cada una, con una tasa de interés simple i', donde los intereses se calculan sobre el capital inicial de cada imposición y se suman al final:
VF = mα + αi' + α(2)i' + α(3)i' + ... + α(m-2)i' + α(m-1)i'
Factorizando α y i' de los términos de interés:
VF = mα + αi' * [1 + 2 + ... + (m-2) + (m-1)]
La suma de los términos de la progresión aritmética 1 + 2 + ... + (m-1) es (m-1)m / 2.
VF = mα + αi' * (m-1)m / 2
Factorizando mα:
VF = mα * [1 + i' * (m-1) / 2]
Simplificando, la fórmula del valor final vencido para imposiciones a interés simple es:
VF = mα * (2 + i'(m-1)) / 2
Imposiciones a Interés Simple: Valor Final Adelantado
Similar al caso vencido, pero los intereses se calculan desde el inicio de cada período, incluyendo el último pago que también genera interés por un período completo.
El valor final (VF') de m imposiciones de α cada una, con una tasa de interés simple i', donde los intereses se calculan desde el inicio de cada imposición:
VF' = mα + αi' + α(2)i' + ... + α(m-2)i' + α(m-1)i' + α(m)i'
Factorizando α y i' de los términos de interés:
VF' = mα + αi' * [1 + 2 + 3 + ... + (m-1) + m]
La suma de los términos de la progresión aritmética 1 + 2 + ... + m es m(1+m) / 2.
VF' = mα + αi' * m(1+m) / 2
Factorizando mα:
VF' = mα * [1 + (i' * (1+m)) / 2]
Simplificando, la fórmula del valor final adelantado para imposiciones a interés simple es:
VF' = mα * (2 + i'(m+1)) / 2
Fórmulas Combinadas (Rentas Vencidas)
Estas fórmulas combinan el valor final de imposiciones a interés simple con la capitalización a interés compuesto.
Si C es el valor final de las imposiciones a interés simple vencidas, y este valor se capitaliza a interés compuesto durante n períodos:
Valor Final de Imposiciones a Interés Simple Vencidas:
C = mα * (2 + i'(m-1)) / 2
Valor Final de una Renta Constante (con C como pago):
S_n = C * ((1+i)^n - 1) / i
Fórmula Combinada (S_mn):
S_mn = [mα * (2 + i'(m-1)) / 2] * ((1+i)^n - 1) / i
Fórmulas Combinadas (Rentas Adelantadas)
Similar al caso anterior, pero utilizando el valor final de imposiciones a interés simple adelantadas.
Si C' es el valor final de las imposiciones a interés simple adelantadas, y este valor se capitaliza a interés compuesto durante n períodos:
Valor Final de Imposiciones a Interés Simple Adelantadas:
C' = mα * (2 + i'(m+1)) / 2
Valor Final de una Renta Constante (con C como pago, usando la fórmula de vencida como en el original):
S_n = C * ((1+i)^n - 1) / i
Fórmula Combinada (S'_mn):
S'_mn = [mα * (2 + i'(m+1)) / 2] * ((1+i)^n - 1) / i
Amortización Combinada Adelantada
Esta sección parece combinar el valor final de imposiciones a interés simple vencidas con el valor actual de una renta constante a interés compuesto.
Si C es el valor final de las imposiciones a interés simple vencidas, y este valor se utiliza como el capital inicial para una amortización (valor actual) a interés compuesto:
Valor Final de Imposiciones a Interés Simple Vencidas:
C = mα * (2 + i'(m-1)) / 2
Valor Actual de una Renta Constante (con C como pago):
A_n = C * ((1+i)^n - 1) / ((1+i)^n * i)
Fórmula Combinada de Amortización (A_mn):
A_mn = [mα * (2 + i'(m-1)) / 2] * ((1+i)^n - 1) / ((1+i)^n * i)
Valor Final de Rentas Variables en Progresión Aritmética Vencidas
Una renta variable en progresión aritmética es aquella en la que los pagos aumentan o disminuyen en una cantidad constante (r) en cada período.
La serie de pagos es C, C+r, C+2r, ..., C+(n-1)r. El valor final (S_r) se calcula como la suma de los valores futuros de cada pago:
S_r = C(1+i)^(n-1) + (C+r)(1+i)^(n-2) + ... + [C+(n-2)r](1+i) + C+(n-1)r
Multiplicando por (1+i) y restando S_r, se obtiene:
S_r * i = C((1+i)^n - 1) + r * [1 + (1+i) + (1+i)^2 + ... + (1+i)^(n-1)] - nr
Aplicando la suma de la progresión geométrica para el término entre corchetes:
S_r * i = C * ((1+i)^n - 1) + r * ((1+i)^n - 1) / i - nr
Dividiendo por i, la fórmula del valor final de una renta variable en progresión aritmética vencida es:
S_r = (C + r/i) * ((1+i)^n - 1) / i - (n * r / i)
Valor Final Adelantado
El valor final adelantado (S'_r) de una renta variable en progresión aritmética se obtiene multiplicando el valor final vencido por (1+i):
S'_r = S_r * (1+i)
Sustituyendo S_r:
S'_r = [(C + r/i) * ((1+i)^n - 1) / i - (n * r / i)] * (1+i)