Fórmulas y Conceptos Clave de Derivadas: Ejemplos y Aplicaciones

Fórmulas de Derivadas

A continuación, se presentan las fórmulas de derivación más comunes:

• Si y = f(x) / g(x), entonces y’ = [f’(x) * g(x) – f(x) * g’(x)] / [g²(x)]
• Si y = xⁿ, entonces y’ = n * x^n-1
• Si y = ( )ⁿ, entonces y’ = n * ( )^n-1 * ( )’
• Si y = √(), entonces y’ = 1 / [2√()] * ( )’
• Si y = ln ( ), entonces y’ = 1 / ( ) * ( )’
• Si y = e^{( )}, entonces y’ = e^{( )} * ( )’
• Si y = sen ( ), entonces y’ = cos ( ) * ( )’
• Si y = cos ( ), entonces y’ = -sen ( ) * ( )’
• Si y = tan ( ), entonces y’ = 1 / cos² ( ) * ( )’ = 1 + tan² ( ) * ( )’
• Si y = cotg ( ), entonces y’ = -1 / sen² ( ) * ( )’
• Si y = arctan ( ), entonces y’ = 1 / [1 + ( )²] * ( )’
• Si y = arcsen ( ), entonces y’ = 1 / √(1 - ( )²) * ( )’
• Si y = arccos ( ), entonces y’ = -1 / √(1 - ( )²) * ( )’

Relaciones trigonométricas:

• 1 - cos² (x) = sen² (x)
• -1 / sen (x) = -cosec (x)

Rectas Tangente y Normal

La derivada de una función en un punto x₀, denotada como f’(x₀), representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Llamaremos a esta pendiente m. El punto de tangencia tiene coordenadas (x₀, y₀).

• Recta tangente: y – y₀ = m * (x – x₀)
• Recta normal: y – y₀ = -1/m * (x – x₀)

Derivada Enésima

La derivada enésima se refiere a la derivada de una función calculada n veces. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: y = ln (1 + 2x)

• y’ = 1 / (1 + 2x) * 2 = 2 * (1 + 2x)^-1
• y’’ = -1 * (1 + 2x)^-2 * 2² = -2² * (1 + 2x)^-2
• y’’’ = 2 * (1 + 2x)^-3 * 2³ = 2 * 2³ * (1 + 2x)^-3
• y’’’’ = -6 * (1 + 2x)^-4 * 2⁴ = -6 * 2⁴ * (1 + 2x)^-4
• yⁿ = (-1)^n-1 * (n-1)! * (1 + 2x)^-n * 2ⁿ = (-1)^n-1 * (n-1)! * 2ⁿ / (1 + 2x)ⁿ

Ejemplo 2: y = e^2x

• y’ = e^2x * 2
• y’’ = e^2x * 2²
• y’’’ = e^2x * 2³
• yⁿ = e^2x * 2ⁿ

Teorema de Bolzano

El Teorema de Bolzano establece que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y f(a) * f(b) < 0 (es decir, la función tiene signos opuestos en los extremos del intervalo), entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

Ejemplo: Demostrar que la ecuación x – cos (x) = 0 tiene solución en el intervalo [0, 1].

Sea f(x) = x – cos (x). f(x) es continua en [0, 1].

• f(0) = 0 – cos (0) = -1
• f(1) = 1 – cos (1) ≈ 0.45

Como f(0) y f(1) tienen signos opuestos, por el Teorema de Bolzano, existe al menos un c ∈ (0, 1) tal que f(c) = 0. Por lo tanto, la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo [0, 1].

Teorema de Rolle

El Teorema de Rolle establece que si una función f(x) es:

• Continua en un intervalo cerrado [a, b]
• Derivable en el intervalo abierto (a, b)
• f(a) = f(b)

Entonces, existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a, b) tal que f’(c) = 0.

Ejemplo: Demostrar que la ecuación f(x) = ln(x² + 2) / 4 tiene una solución única en el intervalo [-√2, √2].

Primero, verificamos la continuidad:

• f(x) = ln(x² + 2) / 4
• f’(x) = 1 / (x² + 2) * (2x / 4) = x / (2 * (x² + 2))

f(x) es continua en [-√2, √2] y derivable en (-√2, √2).

Ahora, evaluamos f(x) en los extremos del intervalo:

• f(-√2) = ln((-√2)² + 2) / 4 = ln(4) / 4 = 0
• f(√2) = ln((√2)² + 2) / 4 = ln(4) / 4 = 0

Como f(-√2) = f(√2) = 0, se cumplen las condiciones del Teorema de Rolle. Por lo tanto, existe al menos un c ∈ (-√2, √2) tal que f’(c) = 0.

Para encontrar c, resolvemos f’(c) = 0:

• f’(c) = c / (2 * (c² + 2)) = 0
• c = 0

Por lo tanto, c = 0 es el único punto en el intervalo (-√2, √2) donde la derivada es cero.

Derivabilidad y Continuidad

Para determinar los valores de a y b que hacen que una función sea derivable y continua en un punto x = x₀, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Calcular f(x₀).
2. Calcular los límites laterales de f(x) cuando x tiende a x₀ por la izquierda y por la derecha.
3. Igualar f(x₀) a los límites laterales para asegurar la continuidad.
4. Calcular la derivada f’(x).
5. Calcular f’(x₀⁺) y f’(x₀^-).
6. Igualar f’(x₀⁺) y f’(x₀^-) para asegurar la derivabilidad.

Caso de polinomios:

Si la función es un polinomio, para encontrar su dominio, igualamos el denominador a 0. El dominio de f(x) será todos los números reales (IR) excepto los valores que anulan el denominador. Es decir, Dom f(x) = IR - {valores que hacen el denominador = 0}.