Fórmulas y Conceptos Clave de Estadística Descriptiva e Inferencial

y 2: Medidas de Tendencia Central y Dispersión

Medidas de Tendencia Central

• Frecuencia relativa: f_i = n_i / N
• Media aritmética:
  • x̅ = ∑x_i / N
  • x̅ = (∑x_i · n_i) / N
  • x̅ = ∑x_i · f_i

Medidas de Posición Centradas

• Mediana (N par): Me_Npar = x_[(N+1)/2]
• Mediana (N impar): Me_Nimpar = [x_(N/2) + x_(N/2)+1] / 2
• Mediana (datos agrupados): Me = L_i-1Me + (N/2 - N_Me-1) / n_iMe · Ɑ_Me
• Moda (datos agrupados): Mo = L_i-1Mo + (d_iMo+1 / (d_iMo+1 + d_iMo-1)) · Ɑ_Mo
• Transformación lineal de la mediana: Me_y = a + b · Me_x

Medidas de Posición No Centradas

• Cuartiles
• Octiles
• Deciles

Medidas de Dispersión Absolutas

• Varianza: S_x² = ∑(x_i - x̅)² · n_i / N
• Desviación estándar: S_x = √S_x²

Medidas de Dispersión Relativas

• Coeficiente de Apertura: A = x_max / x_min
• Coeficiente de Variación: CV = S_x / x̅ (mide la dispersión relativa a la media y se usa para evaluar la representatividad de la media)
• Transformación lineal del coeficiente de apertura: A_y = A_x = y_max / y_min = (a + b · x_max) / (a + b · x_min)
• Transformación lineal del coeficiente de variación:
  • CV_y = S_y / ỹ
  • Si solo hay cambio de escala: CV_y = CV_x, A_y = A_x

Análisis de Datos Bidimensionales y Regresión Lineal

• Media marginal de x: x̅ = ∑x_i / N
• Media marginal de y: ỹ = ∑y_i / N
• Media condicionada: x̅_(y=yj) = ∑x_i · n_ij / n_.j
• Índice de concentración de Gini: I_g = ∑(p_i - q_i) / ∑p_i
  • I_g = 0: Concentración mínima. No le afectan los cambios de escala.
• Cálculo de p_i y q_i:
  • p_i = (n₁ + n₂ + n₃ + ... + n_i) / N * 100
  • q_i = (x₁ · n₁ + x₂ · n₂ + ... + x_i · n_i) / (x_n · n_n) * 100
• Comprobación de independencia:
  • Si n_ij = (n_i. · n_.j) / N para todo i, j: Independencia → S_xy = 0 (R_xy = 0)
  • Si no se cumple lo anterior: Dependencia
• Covarianza: S_xy = (∑x_i · y_j · n_ij / N) - (x̅ · ỹ) (mide la dependencia lineal)
• Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO):
  • Recta de regresión: ỹ = a + βx
  • Pendiente: β = S_xy / S_x²
  • Ordenada en el origen: a = ỹ - βx̅
• Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson: R_xy = S_xy / (S_x · S_y) [-1 ≤ R_xy ≤ 1]
• Coeficiente de Determinación: R² = (R_xy)² [0 ≤ R² ≤ 1]
• Asimetría (Coeficiente de Asimetría de Pearson):
  • x̅ = Me → A_p = 0 → Simetría
  • x̅ > Me → A_p > 0 → Asimetría positiva
  • x̅ p
• Curtosis:
  • g₂ = 0: Mesocúrtica
  • g₂ > 0: Leptocúrtica (más apuntada)
• Momentos:
  • m₃ = ∑(x_i - x̅)³ / N
  • m₃ = 0 → Simetría
  • m₃ > 0 → Asimetría negativa
  • m₃
  • a_r = ∑x_i^r · n_i / N
  • a₁ = x̅
  • m_r = ∑(x_i - x̅)^r · n_i / N
  • m₂ = Var(x)

Probabilidad

• Teorema de la Probabilidad Condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
• Teorema de Bayes: P(A|B) = [P(B|A) · P(A)] / P(B)

Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

Distribución Binomial

• B(n, p)
• Probabilidad: P(x = k) = (ⁿC_k) · p^k · q^n-k
• Varianza: Var(x) = npq = np(1-p)
• Esperanza: E(x) = np
• Desviación estándar: σ_x = √npq

Distribución de Poisson

• Parámetro: λ_t = v
• Probabilidad: P(x = k) = (e^-λ · λ^k) / k!
• Esperanza: E(x) = λ
• Varianza: Var(x) = λ
• Desviación estándar: σ_x = √λ

Distribución Uniforme Continua

• Función de densidad: f(x) = 1 / (b - a)
• Función de distribución: F(x) = (x - a) / (b - a)
• Esperanza: E(x) = (a + b) / 2
• Varianza: Var(x) = (b - a)² / 12

Distribución Exponencial

• Función de densidad: f(x) = λe^-λx, x ≥ 0
• Función de distribución: F(x) = 1 - e^-λx
• Esperanza: E(x) = 1 / λ
• Varianza: Var(x) = 1 / λ²
• Desviación estándar: σ_x = 1 / λ

Distribución Normal

• Tipificación: z = (x - μ) / σ
• Ejemplo de cálculo de probabilidad dentro de un intervalo:
  • P(415
  • Supongamos μ = 465 y σ = 30:
  • P[(415 - 465) / 30
  • = F(1.83) - F(-1.66) = F(1.83) - [1 - F(1.66)] (consultar tablas de la distribución normal estándar)
• Ejemplo de cálculo de probabilidad fuera de un intervalo:
  • 1 - P(valor dentro del intervalo)
  • Ejemplo hasta 415: P(x
  • Ejemplo desde 520 hasta infinito: P(x > 520) = P(z > (520 - 465) / 30) = P(z > 1.83) = 1 - P(z ≤ 1.83) = 1 - F(1.83) (consultar tablas)