Fórmulas y Criterios de Posición Relativa en Geometría Vectorial

Conceptos Fundamentales de Vectores y Puntos

Vectores en el Espacio (R³): Criterios de Dependencia

• Tres Vectores:
  • Linealmente dependientes: El determinante (DET) es igual a cero (**DET = 0**). Los vectores están contenidos en el **mismo plano**.
  • Linealmente independientes: El determinante es distinto de cero (**DET ≠ 0**). Los vectores forman una **base**.

Alineación de Puntos

• Tres Puntos alineados (P, Q, R, en la misma recta): El vector $\vec{PQ}$ es **proporcional** al vector $\vec{PR}$.
• Cuatro Puntos alineados: Se calcula la ecuación del plano con 3 puntos y se verifica si el 4º punto **satisface la ecuación**.

Operaciones con Vectores

• Vector unitario y proporcional a uno dado:
  1. Hallar el **módulo** del vector dado.
  2. Multiplicar el vector dado por el **inverso del módulo** (dividir por el módulo).
• Vector $(x, y, z)$ respecto a una base $(u, v, w)$: Se expresa como la combinación lineal $\vec{v} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{w}$.

Cálculo de Rectas Específicas

Recta Perpendicular Común a dos Rectas $r$ y $s$ que se Cruzan

1. Hallar el **vector perpendicular** a los dos vectores directores de las rectas (mediante el producto vectorial).
2. Hallar el plano $\pi_1$ que contenga a la recta $r$ y al vector perpendicular anterior.
3. Hallar el plano $\pi_2$ que contenga a la recta $s$ y al vector perpendicular anterior.
4. La recta buscada es la **intersección** de estos dos planos, y corta **perpendicularmente** a $r$ y $s$.

Recta que se Apoya en dos Rectas $r$ y $s$, y Pasa por un Punto $P$ Dado

1. Calcular el plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y al punto $P$.
2. Calcular el plano $\pi_2$ que contiene a $s$ y al punto $P$.
3. La recta buscada es la **intersección de los planos** $\pi_1$ y $\pi_2$.

Recta que se Apoya en dos Rectas $r$ y $s$, y es Paralela a Otra

1. Calcular el plano $\pi_1$ que contiene a $r$ y es **paralelo** a la recta dada.
2. Calcular el plano $\pi_2$ que contiene a $s$ y es **paralelo** a la recta dada.
3. La recta buscada es la **intersección de los planos** $\pi_1$ y $\pi_2$.

Posiciones Relativas (Criterios de Rango)

Nota: M es el rango de la matriz de coeficientes y M* es el rango de la matriz ampliada. SCD: Sistema Compatible Determinado; SCI: Sistema Compatible Indeterminado; SI: Sistema Incompatible.

Posiciones Relativas de 2 Planos

• Secantes: M = 2, M* = 2 (**SCI**). Los coeficientes **no son proporcionales**.
• Paralelos: M = 1, M* = 2 (**SI**). Coeficientes proporcionales, excepto en el término independiente (D).
• Coincidentes: M = 1, M* = 1 (**SCI**). Coeficientes **proporcionales**.

Posiciones Relativas de 3 Planos

1. M = 3, M* = 3: **SCD** (Se cortan en **un punto**).
2. M = 2, M* = 3 (SI):
   • a) Ningún plano es paralelo a otro.
   • b) Dos de los planos son **paralelos**.
3. M = 2, M* = 2 (SCI):
   • a) Ningún plano es paralelo a otro (se cortan en una **recta**).
   • b) Un plano es **coincidente** con otro (se cortan en una **recta**).
4. M = 1, M* = 2 (SI):
   • a) Los planos son **paralelos dos a dos**.
   • b) Dos planos son **coincidentes** y otro **paralelo** a ellos.
5. M = 1, M* = 1 (SCI): Planos **coincidentes**.

Posiciones Relativas de Recta y Plano

• Secantes: M = 3, M* = 3 (**SCD**). O bien, al resolver el parámetro $t$, se obtiene $t = \text{número real}$.
• Paralelos: M = 2, M* = 3 (**SI**). O bien, al resolver el parámetro $t$, se obtiene algo **absurdo** (ej. $0=5$).
• Recta contenida en el plano: M = 2, M* = 2 (**SCI**). O bien, al resolver el parámetro $t$, se verifica la **igualdad siempre** (ej. $0=0$).

Posiciones Relativas de 2 Rectas

• Rectas cruzadas: M = 3, M* = 4 (**SI**).
• Rectas secantes: M = 3, M* = 3 (**SCD**).
• Rectas paralelas: M = 2, M* = 3 (**SI**).
• Rectas coincidentes: M = 2, M* = 2 (**SCI**).