Fórmulas y Ecuaciones de la Recta y la Circunferencia: Conceptos Fundamentales

La Recta en el Plano Cartesiano

Cálculo de la Pendiente (m)

La pendiente de una recta que pasa por dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) se calcula con la siguiente fórmula:

Ecuación Punto-Pendiente

Esta forma de la ecuación de la recta se utiliza cuando se conoce un punto por el que pasa y su pendiente.

Forma Simétrica de la Ecuación

También conocida como ecuación canónica o segmentaria.

Donde a es la abscisa en el origen (el punto donde la recta corta al eje X) y b es la ordenada en el origen (el punto donde corta al eje Y).

Punto Medio de un Segmento

Para encontrar las coordenadas del punto medio M(x, y) de un segmento de recta, se promedian las coordenadas de sus puntos extremos.

Condición de Perpendicularidad entre Rectas

Para demostrar que una recta es perpendicular a otra, se puede proceder de dos maneras:

• Gráficamente: Trazar las dos rectas en el plano cartesiano y observar si forman un ángulo de 90°.
• Aritméticamente: Comprobar que sus pendientes son inversas y de signo contrario. Es decir, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1.

Si la pendiente de una recta es m₁:

Entonces, la pendiente de una recta perpendicular a ella, m₂, será:

Ecuación Pendiente-Ordenada al Origen

Esta es una de las formas más comunes de la ecuación de una recta. Para obtenerla, se debe convertir cualquier ecuación de recta a la forma:

Esto se logra despejando la variable y.

En esta forma:

• m representa la pendiente de la recta.
• b es la ordenada al origen (el punto donde la recta cruza el eje Y).

Procedimientos Clave con Ecuaciones de Rectas

Encontrar la ecuación de una recta paralela que pasa por un punto

Dada una recta en su forma general Ax + By + C = 0 ( ) y un punto exterior, para encontrar la ecuación de una recta paralela que pase por dicho punto, sigue estos pasos:

1. La nueva ecuación tendrá la forma Ax + By + C' = 0, ya que las rectas paralelas comparten los mismos coeficientes A y B.
2. Sustituye las variables x e y por las coordenadas del punto dado.
3. Resuelve la ecuación para encontrar el nuevo término independiente C'. ( )
4. Escribe la nueva ecuación en su forma general, sustituyendo el valor de C' encontrado.

Encontrar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por un punto

El proceso es similar al anterior, pero con una diferencia clave para la forma general Ax + By + C = 0:

1. La ecuación de la recta perpendicular tendrá la forma Bx - Ay + C' = 0. Observa que los coeficientes A y B intercambian sus posiciones y uno de ellos cambia de signo.
2. Sustituye las coordenadas del punto dado en x e y.
3. Resuelve para encontrar el valor del nuevo término C'.
4. Escribe la ecuación perpendicular completa con el valor de C' calculado.

Encontrar la ecuación de una recta paralela a otra, conociendo un punto (Método con pendiente)

Si conoces la ecuación de una recta y un punto por el que pasa una segunda recta paralela a la primera, el procedimiento es:

1. Calcula la pendiente (m) de la recta conocida.
2. Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente, utiliza esa misma pendiente para la nueva recta.
3. Usa la ecuación punto-pendiente con la pendiente encontrada y las coordenadas del punto conocido para hallar la ecuación de la nueva recta.

Encontrar la ecuación de una recta perpendicular a otra, conociendo un punto (Método con pendiente)

Para hallar la ecuación de una recta que es perpendicular a otra recta conocida y que pasa por un punto específico:

1. Encontrar la pendiente original (m₁): Usa el método de la Pendiente-Ordenada al Origen para determinar la pendiente de la recta conocida.
2. Calcular la pendiente perpendicular (m₂): Con el dato anterior, calcula la pendiente de la recta perpendicular. Recuerda que debe ser inversa y de signo contrario (m₂ = -1/m₁).
3. Usar la ecuación Punto-Pendiente: Con la nueva pendiente (m₂) y las coordenadas del punto dado, utiliza la fórmula Punto-Pendiente para encontrar la ecuación final.

Análisis de Lugares Geométricos

Construir un Lugar Geométrico

Para construir e identificar el lugar geométrico que representa una ecuación, se recomienda seguir estos pasos:

1. Despejar Y: Si es posible, despeja la variable y para facilitar la tabulación.
2. Tabular: Asigna diferentes valores a x y calcula los valores correspondientes de y para obtener un conjunto de puntos (coordenadas).
3. Graficar: Dibuja los puntos obtenidos en el plano cartesiano y únelos.
4. Identificar: Observa la forma que se produce para identificar el tipo de curva. Las más comunes son:
   • Circunferencia
   • Elipse
   • Parábola (forma de "U" u onda)
   • Hipérbola (dos curvas simétricas, como un reloj de arena)

La Circunferencia

Ecuación de la Circunferencia con Centro en el Origen (0,0)

La ecuación canónica de una circunferencia centrada en el origen del plano cartesiano es:

Ecuación de la Circunferencia con Centro Fuera del Origen (h,k)

Cuando el centro de la circunferencia se encuentra en un punto cualquiera C(h, k), su ecuación ordinaria es: