Fórmulas Esenciales de Álgebra, Cálculo y Estadística: Guía Práctica

Clasificado en Matemáticas

Escrito el 29 de Julio de 2025 en español con un tamaño de 3,94 KB

Fórmulas Fundamentales de Álgebra

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

(a + b) . (a - b) = a² - b²

Inversa de una Función

g^-1(x): y = ... Agrupar x en un lado, despejar x, cambiar el nombre a 'y', poner g^-1(x)

Logaritmos

log_aP = X --> a^x = P

log_aa = 1

log_a1 = 0

log_aPⁿ = n . log_aP

log_aP = log P / log a

Ecuaciones Logarítmicas

Ecuaciones logarítmicas (números ± y log): Pasar los logaritmos a un lado, juntarlos y aplicar la definición.

Ecuaciones logarítmicas (solo log): Tachar los logaritmos de cada lado.

Inecuaciones

En inecuaciones, realizar un análisis de signos.

Dominio de Funciones

Dominio de una fracción algebraica: Se toma el denominador y se iguala a 0. D(f): ℝ \ {valores que anulan el denominador}

Dominio de raíces de índice par: Se toma el radicando y se establece como mayor o igual a 0.

Dominio de raíces de índice par en el denominador: El radicando debe ser mayor a 0.

Dominio de raíces de índice impar: ℝ (polinomios: ℝ)

Dominio de logaritmos: El argumento debe ser mayor a 0.

Límites

k/0 (los límites tienden a ± ∞): Sustituir por la derecha e izquierda, con un número ligeramente mayor y menor.

0/0 en fracciones: Factorizar y simplificar.

0/0 en raíces: Multiplicar por la conjugada.

Límite cuando tiende a infinito (polinomio): Considerar el signo del término de mayor grado. (Ej: 5x³/3x, signo del mayor dividido por el menor). Si el grado mayor está en el denominador, el límite es 0.

Derivadas

Tabla de Derivadas:

f(x) = 5 -> f'(x) = 0

f(x) = x -> f'(x) = 1

f(x) = f^a -> f'(x) = a . f^(a-1) . f'

f(x) = √f -> f'(x) = (1 / (2√f)) . f'

f(x) = a^f -> f'(x) = (f' / f . ln a)

f(x) = sen f -> f'(x) = cos f . f'

f(x) = cos f -> f'(x) = - sen f . f'

f(x) = tg f -> f'(x) = (1 + tg²f) . f' = f' / cos²f

(f ± g)' = f' ± g'

(f / g)' = (f' . g - f . g') / g²

(f . g)' = f' . g + f . g'

(a (número) . f)' = a . f'

Teoremas

TVM = (f(b) - f(a)) / (b - a)

TVI = f'(num, Xo) = lim (h -> 0) (f(Xo + h) - f(Xo)) / h

Ejemplo de Análisis de Función Polinómica

---f(x) = x³ - 3x²--- f'(x) = 3x² - 6x = 0 (puntos críticos) -- f''(x) = 6x - 6 -- f''(0) = -6 (menor que 0, máximo en x=0) // f''(2) = 6 (mayor que 0, mínimo relativo en x=2)

Representación de Funciones Polinómicas

Ramas infinitas (lim x -> ∞ = -∞ --- lim x -> -∞ = +∞). Puntos de corte (eje oy: x=0 -- y=f(0) -- (0,0); eje ox: y=0 -- sacar puntos = 0 -- (1,0), (-2,0)...). Monotonía y extremos: análisis de signos de la derivada para determinar intervalos de crecimiento, decrecimiento, máximos relativos (eje oy) y mínimos relativos (eje ox).

Optimización

Hipotenusa = √(c² + c²). Triángulo: P = a + b + c, A = (b . h) / 2. Cuadrado: P = 4a, A = a². Rectángulo: P = 2a + 2b, A = b . a. Construir una expresión matemática con el dato y despejar 'y'. Sacar f(x,y) = 2x + 2y (ejemplo) y sustituir ahí la 'y'. Derivar, igualar a 0 y despejar 'x'. Analizar el signo de la segunda derivada para determinar si es un mínimo o máximo. El valor de 'x' se sustituye en la función original para despejar 'y'.

Estadística

Media aritmética (x̄) = Σ(xi . fi) / N (suma de todas las fi)

Varianza (v = σ² = s²) = (Σ(xi² . fi) / N) - x̄²

Desviación típica (σ = s) = √v

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