Fórmulas Esenciales para Calcular Áreas y Volúmenes

A continuación, se presentan las fórmulas clave para el cálculo de áreas y volúmenes de diversas figuras geométricas:

Áreas de Figuras Planas

• Rectángulo: Área = Base × Altura
• Cuadrado: Área = Lado × Lado = Lado²
• Paralelogramo o Romboide: Área = Base × Altura
• Triángulo: Área = (Base × Altura) / 2
• Fórmula de Herón (Triángulo): Área = √s(s-a)(s-b)(s-c), donde s es el semiperímetro y a, b, c son los lados del triángulo.
• Trapecio: Área = ((Base mayor + Base menor) × Altura) / 2
• Rombo: Área = (Diagonal mayor × Diagonal menor) / 2

Área de Polígonos Regulares e Irregulares

• Polígono Regular: Se divide en triángulos. Si el polígono tiene 6 lados, el área sería A = 6 × AT, donde AT es el área de un triángulo. El área de un triángulo es AT = (b × a) / 2; Luego A = 6 × b × a / 2 = p × a / 2 ; A = p × a / 2, donde p = perímetro = suma de sus lados y a = altura del triángulo que coincide con la apotema.
• Polígono Irregular: Se divide en triángulos y se calculan sus áreas individualmente.

Área de Círculos y Figuras Circulares

• Círculo: Área = π × R²
• Longitud de la Circunferencia: Longitud = 2 × π × R
• Corona Circular: Área = π × R² - π × r², donde R es el radio mayor y r es el radio menor.
• Sector Circular: Área = (α / 360) × π × r², donde α es el ángulo del sector en grados.

Área de Figuras Curvas Irregulares

Para figuras curvas irregulares, se superpone una cuadrícula. Los cuadros enteros y mayormente completos cuentan como 1 unidad. Los que no superan la mitad del cuadro no se contabilizan.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: a² + b² = c²

Demostración:

Si tenemos un triángulo rectángulo, podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b + c.

El área de este cuadrado será: (b + c)².

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la derecha. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2): b × c / 2

Más el área del cuadrado amarillo a². Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo: a² + 4 bc / 2 = a² + 2 bc

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos: (b + c)² = a² + 2bc

Si ahora desarrollamos el binomio, nos queda: b² + 2bc + c² = a² + 2bc

Que después de simplificar resulta lo que estábamos buscando: b² + c² = a²

Área y Volumen de Prismas

• Área Lateral (Alat): Suma del área de las caras laterales.
• Área Total (Atot): Alat + 2 × Área de la base (Abase)
• Volumen: Abase × Altura

Área y Volumen de Pirámides

• Área Lateral (Alat): Suma del área de las caras laterales.
• Área Total (Atot): Alat + Abase
• Volumen: (1/3) × Abase × Altura

Área y Volumen de Cuerpos de Revolución

• Área Lateral (Alat): Suma del área de las caras laterales.
• Área Total (Atot): Alat + Abase
• Volumen: (1/3) × Abase × Altura

Área y Volumen de la Esfera

• Área: A = 4 × π × R²
• Volumen: V = (4/3) × π × R³

Diagonal del Ortoedro

D = √(a² + b² + c²)