Fórmulas Esenciales de Estadística Descriptiva y Control Estadístico de Procesos

Estadísticos de Localización

• Media (x̄):
  • Datos sin agrupar: x̄ = 1/n ∑ x_k
  • Datos agrupados: x̄ = 1/n ∑ x_in_i = ∑ x_if_i
• Mediana: Valor que divide los datos en dos grupos con el mismo número de elementos.
• Moda: Valor que más se repite en el conjunto de datos.

Estadísticos de Dispersión

• Rango: V_max - V_min
• Rango Intercuartílico (RIC): C_0.75 - C_0.25
• Varianza (S_n²):
  • S_n² = 1/n * ∑(x_k - media)² (para k=1 hasta n)
  • S_n² = 1/n ∑(x_i - media)² * n_i (para i=1 hasta c)
  • Fórmula abreviada: S_n² = x̄² - media²
• Cuasi-varianza (S²): S² = 1/(n-1) ∑(x_k - media)² = 1/(n-1) ∑(x_i - media)² * n_i = n/(n-1) * S_n²
• Desviación típica (S_n): S_n = √S_n²
• Cuasidesviación típica (S): S = √S²
• Coeficiente de variación o variabilidad relativa: CV = S / |media|

Estadísticos de Forma

• Coeficiente de Asimetría (C_a): C_a = 1/n ∑((x_k - media) / S_n)³
• Coeficiente de Curtosis o apuntamiento (C_c): C_c = 1/n ∑((x_k - media) / S_n)⁴ - 3
  • Si C_c = 0: Distribución Normal (Mesocúrtica).
  • Si C_c > 0: Leptocúrtica o apuntada.
  • Si C_c < 0: Platicúrtica o aplanada.

Distribuciones de Probabilidad

Distribución Binomial

Fórmula: P(x) = (n;x) p^x (1-p)^(n-x)

Varianza (σ²): σ² = np(1-p)

Distribución de Poisson

Fórmula: P(x) = (e^-λ * λ^x) / x!

Distribución Continua

Estandarización (Z): z = (x - μ) / σ

Gráficos de Control

Gráfico C

Línea Central (LC): LC = c

Límite de Control Superior (LCS): LCS = c + 3√c

Gráfico NP

Límite Superior de Control (LSC): LSC = np + 3√(np(1-p))

Línea Central (LC): LC = np

Gráfico X (Medias)

• Media de subgrupo: xt(media) = 1/n ∑ xt_i
• Rango de subgrupo: rt = max(xt_i) - min(xt_i)
• Media de rangos: r(media) = 1/t ∑ r_i
• Desviación estándar estimada: σx = r(media) / d2
• Error estándar de la media: σx(media) = r(media) / (d2 * √n)
• Línea Central (LC): LC = x̄̄ (media de medias) = 1/t ∑ xi(media)
• Límite Inferior de Control (LIC): LIC = x̄̄ - 3σx(media)

Gráfico R (Rangos)

• Desviación del rango: σr = r(media) / dr
• Límite Inferior de Control (LIC): LIC = r(media) - 3σr
• Línea Central (LC): LC = r(media)

Interpretación de Gráficos de Control

• Racha: 7 o más puntos consecutivos en un mismo lado de la Línea Central (LC).
• Tendencia: 7 o más puntos consecutivos con valores crecientes o decrecientes.
• Periodicidad: Se repite un patrón sistemático en los datos.
• Inestabilidad: Fluctuaciones frecuentes cerca de los límites LIC o LSC.
• Superestabilidad: 16 puntos consecutivos situados entre -σ y +σ (muy cerca de la LC).