Fórmulas esenciales de geometría analítica y estadística: rectas, circunferencias, parábolas y elipses

Fórmulas y propiedades

Línea recta

• Distancia punto-recta: d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²) (distancia punto - recta)
• Distancia entre dos puntos: d(P₁→P₂) = √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²) (distancia entre 2 puntos)
• Punto medio entre dos puntos: x = (x₁ + x₂) / 2; y = (y₁ + y₂) / 2 (punto medio entre 2 puntos)
• Ecuación de la recta a partir de dos puntos: (y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) (recta a partir de 2 puntos)
• Punto que divide un segmento en razón r (interno): x = (x₁ + r x₂)/(1 + r); y = (y₁ + r y₂)/(1 + r) (puntos para encontrar junto a una razón)
• Ecuación punto-pendiente: y - y₁ = m(x - x₁) (recta a partir de un punto y una pendiente)

Circunferencia

• Ecuación ordinaria (centro (h,k), radio r): (x - h)² + (y - k)² = r²
• Ecuación general: x² + y² + Ax + By + C = 0

Parábola

• Ecuación con eje vertical: (x - h)² = 4p(y - k) (ecuación vertical)
• Ecuación con eje horizontal: (y - k)² = 4p(x - h) (ecuación horizontal)
• Foco (parábola vertical): F(h, k + p) (foco vertical)
• Foco (parábola horizontal): F(h + p, k) (foco horizontal)
• Directriz (parábola vertical): y = k - p (directriz vertical)
• Directriz (parábola horizontal): x = h - p (directriz horizontal)

C

Elipse

• Ecuación (eje mayor vertical): (x - h)²/b² + (y - k)²/a² = 1 (ecuación vertical, con a > b)
• Ecuación (eje mayor horizontal): (x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 (ecuación horizontal, con a > b)
• Eje horizontal / vertical:
• Vértices (eje horizontal): V₁(h + a, k), V₂(h - a, k)
• Focos (eje horizontal): F₁(h + c, k), F₂(h - c, k)
• -------------------------------------------
• Vértices (eje vertical): V₁(h, k + a), V₂(h, k - a)
• Focos (eje vertical): F₁(h, k + c), F₂(h, k - c)
• Directrices: para una elipse con excentricidad e, las directrices son rectas x = h ± a/e (si el eje mayor es horizontal) o y = k ± a/e (si el eje mayor es vertical)
• Relación entre parámetros: c² = a² - b²
• Longitudes de los ejes: 2a = eje mayor (longitud total), 2b = eje menor (longitud total)
• Nota: en las descripciones anteriores se mantiene la convención a > b.

Estadística

N = número de datos totales que nos dan.

• Número de clases (aproximado, Regla de Sturges): #C = 1 + 3.322 · log₁₀(N)
• Rango: Rango = ValorMayor - ValorMenor
• Límite inferior: LimInf = dato más pequeño (límite inferior)
• Límite superior: LimSup = dato más grande (límite superior)
• Ancho de clase (grosor de barra): AnchoClase = Rango / #C
• Observación sobre el ancho de clase: El ancho de clase es el valor que se suma al límite inferior para obtener sucesivamente los límites superiores de cada clase.
• Marca de clase: promedio de los límites inferior y superior de la clase
• Frecuencia absoluta: cuántas veces aparece ese dato en la tabla dada
• Frecuencia absoluta acumulada: suma sucesiva de las frecuencias absolutas (la última debe dar N)
• Frecuencia relativa: FrecRelativa = (FrecAbsoluta / N) · 100 (expresada en porcentaje)
• Frecuencia relativa acumulada: suma sucesiva de las frecuencias relativas (la última debe dar 100%)