Fórmulas Esenciales de Geometría Analítica: Rectas, Parábolas y Circunferencias

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

La geometría analítica es una rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y ecuaciones. Este documento resume las fórmulas y propiedades esenciales de las rectas, parábolas y circunferencias.

La Recta

La recta es uno de los elementos más básicos en geometría analítica. A continuación, se presentan sus formas, propiedades y fórmulas clave.

Tipos de Rectas y Pendiente

• Recta vertical: x = a. Su pendiente (m) es indefinida.
• Recta horizontal: y = a. Su pendiente (m) es 0.
• Pendiente (m): m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Representa la inclinación de la recta.

Ecuaciones de la Recta

• Forma pendiente-intercepto: y = mx + b.
  • m es la pendiente.
  • b es el intercepto con el eje 'y'.
• Forma punto-pendiente: (y - y1) = m(x - x1).
• Forma general: Ax + By + C = 0.

Relaciones entre Rectas

• Rectas paralelas: Tienen la misma pendiente. m1 = m2.
• Rectas perpendiculares: El producto de sus pendientes es -1. m1 * m2 = -1.

Fórmulas Adicionales para Puntos

• Fórmula del punto medio: ((x1 + x2) / 2 ; (y1 + y2) / 2).
• Fórmula de la distancia entre dos puntos: √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2).

La Parábola

La parábola es una curva cónica definida por una ecuación cuadrática. Su orientación depende de la variable que se eleva al cuadrado y del signo del coeficiente principal.

Ecuaciones de la Parábola

• Parábola que se abre en el eje 'y' (vertical): y = Ax2 + Bx + C.
  • Si A > 0, abre hacia arriba.
  • Si A < 0, abre hacia abajo.
• Parábola que se abre en el eje 'x' (horizontal): x = Ay2 + By + C.
  • Si A > 0, abre hacia la derecha.
  • Si A < 0, abre hacia la izquierda.

Vértice de una Parábola

• Para y = Ax2 + Bx + C, la coordenada x del vértice es x = -B / (2A). (La coordenada y se obtiene sustituyendo x en la ecuación).

Simetría de Ecuaciones

La simetría de una ecuación con respecto a los ejes o al origen se verifica mediante sustituciones:

• Con respecto al eje X: Cambiar 'Y' por '-Y'. Si la ecuación no se altera, es simétrica al eje X.
• Con respecto al eje Y: Cambiar 'X' por '-X'. Si la ecuación no se altera, es simétrica al eje Y.
• Con respecto al origen: Cambiar 'X' por '-X' y 'Y' por '-Y'. Si la ecuación no se altera, es simétrica al origen.

La Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de un punto central fijo.

Ecuación Estándar de la Circunferencia

• Ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2.
  • (h, k) es el centro de la circunferencia.
  • r es el radio de la circunferencia.