Fórmulas Esenciales de Trigonometría y Métodos de Geometría Analítica

Identidades y Fórmulas Trigonométricas

Razones Trigonométricas Fundamentales

• sen(α) = cateto opuesto / hipotenusa
• cos(α) = cateto adyacente / hipotenusa
• tg(α) = cateto opuesto / cateto adyacente

Relaciones Angulares

Fórmulas del Ángulo Doble

• sen(2α) = 2sen(α)cos(α)
• cos(2α) = cos2(α) – sen2(α)
• tg(2α) = (2tg(α)) / (1 - tg2(α))

Fórmulas del Ángulo Mitad

• sen(α/2) = ±√((1 - cos(α))/2)
• cos(α/2) = ±√((1 + cos(α))/2)
• tg(α/2) = ±√((1 - cos(α))/(1 + cos(α))) = sen(α) / (1 + cos(α)) = (1 - cos(α)) / sen(α)

Suma y Diferencia de Ángulos

• sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)
• sen(α - β) = sen(α)cos(β) - cos(α)sen(β)
• cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)
• cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)
• tg(α + β) = (tg(α) + tg(β)) / (1 - tg(α)tg(β))
• tg(α - β) = (tg(α) - tg(β)) / (1 + tg(α)tg(β))

Transformaciones Trigonométricas

De Suma/Diferencia a Producto

• sen(A) + sen(B) = 2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2)
• sen(A) - sen(B) = 2cos((A+B)/2)sen((A-B)/2)
• cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)
• cos(A) - cos(B) = -2sen((A+B)/2)sen((A-B)/2)

Identidades Fundamentales y Recíprocas

• cosec(α) = 1 / sen(α)
• sec(α) = 1 / cos(α)
• cotg(α) = 1 / tg(α)
• tg(α) = sen(α) / cos(α)
• cotg(α) = cos(α) / sen(α)

Identidades Pitagóricas

• sen2(α) + cos2(α) = 1
• 1 + tg2(α) = sec2(α)
• 1 + cotg2(α) = cosec2(α)

Teoremas Fundamentales en Triángulos

Teorema del Seno

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C)

Teorema del Coseno

• a2 = b2 + c2 - 2bc cos(A)
• b2 = a2 + c2 - 2ac cos(B)
• c2 = a2 + b2 - 2ab cos(C)

Área de un Triángulo

Área = (1/2) a c sen(B) (o (1/2) b c sen(A), etc.)

Conversión de Unidades Angulares

180° = π radianes

Procedimientos de Geometría Analítica

Puntos y Rectas

Cálculo del Punto Simétrico de un Punto P Respecto a una Recta r

1. Hallar la ecuación de la recta s, perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P. (El vector director de s es el vector normal de r).
2. Calcular el punto de intersección M entre la recta r y la recta s, resolviendo el sistema de ecuaciones formado por ambas.
3. El punto M es el punto medio del segmento PP', donde P' es el punto simétrico. Por lo tanto, P' se calcula como P' = 2M - P (coordenada a coordenada: xP' = 2xM - xP, yP' = 2yM - yP).

Hallar la Ecuación de una Recta que Pasa por el Punto de Corte de Otras Dos y es Paralela a una Tercera

1. Resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos primeras rectas para encontrar su punto de corte P(x₀, y₀).
2. La recta buscada pasa por P y es paralela a la tercera recta dada. Por lo tanto, tendrá el mismo vector director (o la misma pendiente) que esta tercera recta. Utilizar el punto P y este vector director (o pendiente) para escribir su ecuación.

Circunferencias

Hallar la Ecuación de una Circunferencia con Centro en una Recta Dada y que Pasa por Dos Puntos A y B

1. El centro C de la circunferencia debe equidistar de A y B, por lo que C pertenece a la mediatriz del segmento AB. Hallar la ecuación de esta mediatriz.
2. El centro C también pertenece a la recta dada. Resolver el sistema de ecuaciones formado por la mediatriz y la recta dada para encontrar las coordenadas del centro C.
3. El radio (r) de la circunferencia es la distancia desde el centro C a cualquiera de los puntos A o B (r = d(C, A)).
4. Escribir la ecuación de la circunferencia: (x - xC)2 + (y - yC)2 = r2.

Hallar las Ecuaciones de las Rectas Paralelas a una Recta Dada r, que Distan X Unidades de Ella

1. Sea la recta dada r: Ax + By + C = 0. Las rectas paralelas tendrán la forma Ax + By + K = 0.
2. La distancia entre estas dos rectas paralelas es |K - C| / √(A2 + B2).
3. Igualar esta distancia a X: |K - C| / √(A2 + B2) = X.
4. Resolver para K. Generalmente se obtendrán dos valores para K, correspondientes a las dos rectas paralelas.

Hallar la Recta Tangente y la Recta Normal a una Circunferencia en un Punto Dado P de la Misma

1. Identificar el centro C(x_C, y_C) de la circunferencia y el punto de tangencia P(x_P, y_P).
2. El vector CP = (xP - xC, yP - yC) es un vector normal a la recta tangente y un vector director de la recta normal.
3. Recta Tangente: Pasa por P y su vector normal es CP. Su ecuación es (xP - xC)(x - xP) + (yP - yC)(y - yP) = 0.
4. Recta Normal: Pasa por P y su vector director es CP. Es la recta que une P y C.

Hallar la Ecuación de la Recta Tangente a una Circunferencia Dada, que es Paralela a una Recta Dada s

1. La recta tangente buscada (t) será paralela a s, por lo que tendrá la misma pendiente (o su vector normal será paralelo al de s). Escribir la forma general de t con un parámetro K (e.g., si s es Ax + By + C = 0, t es Ax + By + K = 0).
2. Obtener el centro C(x_C, y_C) y el radio (r) de la circunferencia dada.
3. La distancia desde el centro C a la recta tangente t debe ser igual al radio r: d(C, t) = r.
4. Aplicar la fórmula de distancia de un punto a una recta: |AxC + ByC + K| / √(A2 + B2) = r. Resolver para K. Pueden existir dos soluciones para K, lo que significa dos rectas tangentes.

Hallar la Ecuación de una Circunferencia Concéntrica a Otra Dada y Tangente a una Recta r

1. Obtener el centro C(x_C, y_C) de la circunferencia dada. Este será también el centro de la nueva circunferencia.
2. El radio (R) de la nueva circunferencia es la distancia desde el centro C a la recta r. Calcular R = d(C, r).
3. Escribir la ecuación de la nueva circunferencia: (x - xC)2 + (y - yC)2 = R2.

Hallar la Ecuación de una Circunferencia Concéntrica a Otra Dada y que Pasa por un Punto P

1. Obtener el centro C(x_C, y_C) de la circunferencia dada. Este será también el centro de la nueva circunferencia.
2. El radio (R) de la nueva circunferencia es la distancia desde el centro C al punto P. Calcular R = d(C, P).
3. Escribir la ecuación de la nueva circunferencia: (x - xC)2 + (y - yC)2 = R2.