Fórmulas de Matemáticas: Geometría Analítica, Cálculo e Probabilidad

Matrices y determinantes

Inversa de una matriz: A^-1 = (Adj A)^T / |A| (si det(A) ≠ 0)

Posiciones relativas

Dos planos

• A/A' = B/B' = C/C' = D/D' → Coincidentes
• A/A' = B/B' = C/C' ≠ D/D' → Paralelos
• Otros casos → Sécantes

Recta – Plano

Se pueden estudiar dos formas:

1. Por rangos (matriz de coeficientes A y matriz ampliada A*)

• 0 = 0 (rango A = 2) ⇒ paralelo (rango A = 2)
• Si (3,2,4) ≠ 0 ⇒ rango A = 3
• Si rango A ≠ rango A* ⇒ Paralelas
• Si rango A = 2 = rango A* ⇒ Coincidentes
• Si rango A = 3 = rango A* ⇒ Sécantes

2. Forma geométrica

Encuentra el vector director de la recta r, el vector director del plano s y un vector perpendicular al plano π.

• Si r · s = 0 (son perpendiculares), se toma un punto de la recta r y se verifica si pertenece a π. Si cumple la ecuación, la recta está contenida en π.
• Si no cumple, la recta es paralela al plano.
• Otro caso posible: sécantes (la recta corta al plano en un punto).

Dos rectas

• A/A' = B/B' = C/C' = D/D' → Coincidentes
• Rango A = 2 = Rango A* → Coincidentes
• A/A' = B/B' = C/C' ≠ D/D' → Paralelas
• Rango A = 2, Rango A* = 3 → Paralelas
• Los demás casos → Sécantes
• Rango A = 3 = Rango A* → Sécantes
• Rango A = 3, Rango A* = 4 → Se cruzan (no coplanares)

Tres planos

• Rango A = Rango A* = 3 → se cortan en 1 punto común
• Rango A = Rango A* = 2 → se cortan en 1 recta común
• Rango A = Rango A* = 1 → Son el mismo plano
• Rango A ≠ Rango A* → No se cortan

Ángulos y distancias

Ángulos

• Ángulo entre dos rectas: cos θ = |(u · v)| / (|u| |v|)
• Ángulo entre dos planos: cos θ = |(n_π · n_α)| / (|n_π| |n_α|)
• Ángulo recta–plano: sen θ = |(u · n)| / (|u| |n|), donde n es normal al plano

Distancias

• Distancia entre dos puntos: |AB|
• Distancia punto–plano: Para π: Ax + By + Cz = D y P(X₀, Y₀, Z₀)
  d(P, π) = |A X₀ + B Y₀ + C Z₀ − D| / √(A² + B² + C²)
• Distancia entre planos paralelos: se obtiene tomando un punto de uno de los planos y calculando su distancia al otro plano (como punto–plano)
• Distancia punto–recta: d(P, r) = |AP × u_r| / |u_r| (módulo del producto vectorial entre AP y el vector director u_r)
• Distancia entre rectas paralelas: se toma un punto de una recta y se calcula la distancia punto–recta respecto de la otra
• Perpendicular a dos rectas que se cruzan: n = u_r × u_s (vector perpendicular a ambas)

Áreas y volúmenes

• Área de paralelogramo: S = |AB × AC|
• Volumen de paralelogramo (paralelepípedo): V = det(AB, AC, AD)
• Área de triángulo: S = (1/2) |AB × AC|
• Volumen de tetraedro (triángulo espacial): V = (1/6) |det(AB, AC, AD)| — o bien V = (1/2) det(AB, AC, AD) si se usa otra convención; verificar contexto

Integrales

Reglas básicas de integración

• Potencias (sustitución): ∫ u^n · u' dx = uⁿ⁺¹ / (n+1) + C, (n ≠ −1)
• Exponencial: ∫ e^u · u' dx = e^u + C
• ∫ a^u · u' dx = a^u / ln|a| + C
• Logarítmicas: ∫ u' / u dx = ln|u| + C
• Seno y coseno (con cadena):
  • ∫ u' · sin(u) dx = −cos(u) + C
  • ∫ u' · cos(u) dx = sin(u) + C
• Tangente: ∫ u' / cos²(u) dx = tan(u) + C

Funciones racionales

∫ P(x) / Q(x) dx = ∫ C(x) dx + ∫ R(x) / Q(x) dx (descomposición en parte entera C(x) y fracción propia R/Q)

Por partes

Fórmula: ∫ u · dv = u · v − ∫ v · du

Ejemplo (esquema):

• ∫ ln(√(1 + x²)) · x dx = usando u = ln(√(1 + x²)), dv = x dx
• v = x² / 2, du = x / (1 + x²) dx

Derivadas

(Sección: Derivadas — incluya fórmulas específicas cuando proceda)

Probabilidad

Formulas de probabilidad

• Suceso complemento: P(Ā) = 1 − P(A)
• Sucesos compatibles / generales: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) (fórmula equivalente)
• Sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes): P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
• Probabilidad condicionada: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), si P(B) > 0
• Sucesos dependientes: P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B)

Notas y recomendaciones

• En los apartados de posiciones relativas, "A*" o "A*" se refiere a la matriz ampliada (matriz de coeficientes más la columna de términos independientes).
• Cuando use determinantes, productos vectoriales o normales, asegúrese de emplear la convención de signos y orientación adecuada según el contexto de ejercicios.
• Verifique casos especiales (por ejemplo, nulos o valores singulares) antes de aplicar fórmulas directas.

Contenido corregido y organizado manteniendo la totalidad de las fórmulas y casos originales.