Fórmulas y Métodos Clave en Series y Ecuaciones Diferenciales

Series Numéricas

Criterios de Convergencia

• Criterio del Cociente (D'Alembert): Sea la serie ∑a_n. Si lim_n→∞ |a_n+1 / a_n| = L, la serie converge si L < 1, diverge si L > 1, y el criterio no decide si L = 1.
• Criterio de la Raíz (Cauchy): Sea la serie ∑a_n. Si lim_n→∞ |a_n|^1/n = L, la serie converge si L < 1, diverge si L > 1, y el criterio no decide si L = 1.
• Criterio de Comparación por Límite: Dadas ∑a_n y ∑b_n con a_n ≥ 0, b_n > 0. Si lim_n→∞ (a_n / b_n) = c, donde 0 < c < ∞, entonces ambas series tienen el mismo carácter (ambas convergen o ambas divergen).
• Criterio de la Integral: Sea f(x) una función continua, positiva y decreciente para x ≥ 1, tal que a_n = f(n). La serie ∑_n=1^∞ a_n converge si y solo si la integral impropia ∫₁^∞ f(x) dx converge. (Recordatorio: ∫₁^∞ f(x) dx = lim_t→∞ ∫₁^t f(x) dx).
• Criterio para Series Alternadas (Leibniz): La serie alternada ∑ (-1)ⁿ b_n (o ∑ (-1)ⁿ⁺¹ b_n) converge si se cumplen las siguientes condiciones: b_n > 0 para todo n, la sucesión {b_n} es decreciente (b_n+1 ≤ b_n), y lim_n→∞ b_n = 0.

Tipos Especiales de Series

• Series Telescópicas: Una serie de la forma ∑ (b_n - b_n+1). Si lim_n→∞ b_n = L (finito), entonces la serie converge y su suma es S = b₁ - L.

Series de Potencias

Una serie de potencias centrada en a tiene la forma: ∑_n=0^∞ c_n(x - a)ⁿ.

Un ejemplo fundamental es la serie geométrica: ∑_n=0^∞ xⁿ = 1 / (1 - x), que converge si |x| < 1.

Series de Taylor y Maclaurin

Si una función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes en x = a, su serie de Taylor centrada en a es:

∑_n=0^∞ [f⁽ⁿ⁾(a) / n!] (x - a)ⁿ = f(a) + f'(a)(x - a)/1! + f''(a)(x - a)²/2! + ...

Los coeficientes de la serie son c_n = f⁽ⁿ⁾(a) / n!.

La serie de Maclaurin es la serie de Taylor centrada en a = 0:

∑_n=0^∞ [f⁽ⁿ⁾(0) / n!] xⁿ = f(0) + f'(0)x/1! + f''(0)x²/2! + ...

Series de Maclaurin Notables:

• e^x = ∑_n=0^∞ xⁿ / n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... (para todo x)
• sen(x) = ∑_n=0^∞ (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ / (2n+1)! = x - x³/3! + x⁵/5! - ... (para todo x)
• cos(x) = ∑_n=0^∞ (-1)ⁿ x²ⁿ / (2n)! = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... (para todo x)

(Nota: Para potencias pares se usa 2n, para impares 2n+1)

Series de Fourier

Para una función f(x) periódica de periodo 2T, su serie de Fourier es:

S(x) = a₀ + ∑_n=1^∞ [a_n cos(nπx / T) + b_n sen(nπx / T)]

donde los coeficientes de Fourier son:

• a₀ = (1 / T) ∫_-T^T f(x) dx
• a_n = (1 / T) ∫_-T^T f(x) cos(nπx / T) dx (para n ≥ 1)
• b_n = (1 / T) ∫_-T^T f(x) sen(nπx / T) dx (para n ≥ 1)

Propiedades de Simetría:

• Si f(x) es par (f(-x) = f(x), ej: cos(x), x², x⁴):
  • b_n = 0 para todo n ≥ 1.
  • a₀ = (2 / T) ∫₀^T f(x) dx
  • a_n = (2 / T) ∫₀^T f(x) cos(nπx / T) dx
• Si f(x) es impar (f(-x) = -f(x), ej: sen(x), tan(x), x, x³):
  • a₀ = 0.
  • a_n = 0 para todo n ≥ 1.
  • b_n = (2 / T) ∫₀^T f(x) sen(nπx / T) dx

Integrales Útiles:

• ∫ x cos(ax) dx = (x sen(ax) / a) + (cos(ax) / a²) + C
• ∫ x sen(ax) dx = (-x cos(ax) / a) + (sen(ax) / a²) + C

Teorema de Convergencia (Dirichlet):

Si f(x) es una función periódica de periodo 2T, y si f(x) y f'(x) son continuas a trozos en el intervalo [-T, T], entonces la serie de Fourier S(x) converge para todo x.

• Si f es continua en x₀, entonces S(x₀) = f(x₀).
• Si f tiene una discontinuidad de salto en x₀, entonces S(x₀) = [f(x₀⁺) + f(x₀^-)] / 2 (el promedio de los límites laterales).

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

EDO de Primer Orden

• Variables Separables: Forma: dy/dx = f(x) g(y). Se resuelve separando variables e integrando: ∫ dy / g(y) = ∫ f(x) dx + C.
• Lineal Homogénea (Coeficiente Constante): Forma: dy/dt = A y(t) (o dx/dy = A x(y) como en el original). Solución: y(t) = C e^At (o x(y) = C e^Ay).

EDO Lineal de Segundo Orden con Coeficientes Constantes

Forma general: a y'' + b y' + c y = f(t)

Caso Homogéneo (f(t) = 0): a y'' + b y' + c y = 0

Se resuelve mediante la Ecuación Característica Auxiliar (ECA): a r² + b r + c = 0.

Las raíces son r_1,2 = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a).

La solución homogénea y_h(t) depende de las raíces:

• Raíces reales y distintas (r₁ ≠ r₂): y_h(t) = c₁ e^r₁t + c₂ e^r₂t
• Raíces reales e iguales (r₁ = r₂ = r): y_h(t) = c₁ e^rt + c₂ t e^rt
• Raíces complejas conjugadas (r = α ± βi): y_h(t) = e^αt (c₁ cos(βt) + c₂ sen(βt))

Caso No Homogéneo (f(t) ≠ 0): a y'' + b y' + c y = f(t)

La solución general es y(t) = y_h(t) + y_p(t), donde y_h(t) es la solución homogénea y y_p(t) es una solución particular.

Método de Coeficientes Indeterminados (para ciertos f(t)):

Se propone una forma para y_p(t) basada en f(t):

• Si f(t) es un polinomio de grado n: proponer un polinomio completo de grado n.
• Si f(t) es exponencial (A e^kt): proponer B e^kt.
• Si f(t) es seno/coseno (A sen(kt) o A cos(kt)): proponer B sen(kt) + C cos(kt).

(Nota: Si la forma propuesta para y_p es parte de y_h, se debe multiplicar por t o t²).

Se deriva la y_p propuesta, se sustituye en la EDO no homogénea y se determinan los coeficientes.

Método de Variación de Parámetros (para cualquier f(t)):

1. Encontrar la solución homogénea: y_h(t) = c₁ y₁(t) + c₂ y₂(t).
2. Proponer la solución particular: y_p(t) = u₁(t) y₁(t) + u₂(t) y₂(t).
3. Resolver el sistema para u₁'(t) y u₂'(t):

• u₁' y₁ + u₂' y₂ = 0
• u₁' y₁' + u₂' y₂' = f(t) / a

Se puede usar la regla de Cramer. El determinante del sistema es el Wronskiano W(y₁, y₂) = y₁y₂' - y₁'y₂. u₁'(t) = -y₂(t) f(t) / (a W) u₂'(t) = y₁(t) f(t) / (a W) Integrar u₁'(t) y u₂'(t) para encontrar u₁(t) y u₂(t) (se pueden omitir las constantes de integración). Sustituir u₁ y u₂ en la expresión de y_p.

La solución general es y(t) = y_h(t) + y_p(t).

Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)

Método de Integraciones Sucesivas

Aplicable a EDPs simples. Al integrar respecto a una variable (ej. y), la "constante" de integración es una función arbitraria de la(s) otra(s) variable(s) (ej. h(x)). Al integrar respecto a x, la "constante" es una función de y (ej. g(y)).

Ejemplo conceptual: Si se integra ∂u/∂y = F(x, y), se obtiene u(x, y) = ∫ F(x, y) dy + h(x).

Método de Separación de Variables

Para EDPs lineales y homogéneas con condiciones de contorno adecuadas.

1. Proponer una solución de la forma u(x, y) = X(x) Y(y).
2. Calcular las derivadas parciales necesarias (ej. u_x = X'(x) Y(y), u_y = X(x) Y'(y), u_xx = X''(x) Y(y), etc.).
3. Sustituir en la EDP.
4. Separar las variables: Reorganizar la ecuación para que todos los términos que dependen de x estén en un lado y los que dependen de y en el otro.
5. Igualar ambos lados a una constante de separación (k o -λ² o λ², según convenga).
6. Esto genera un sistema de dos EDOs, una para X(x) y otra para Y(y), ambas involucrando la constante k.
7. Resolver las EDOs, incorporando las condiciones de contorno homogéneas para determinar los posibles valores de k (autovalores) y las correspondientes soluciones (autofunciones).
8. La solución general es a menudo una superposición (suma infinita) de las soluciones producto X_n(x) Y_n(y) obtenidas: u(x, y) = ∑ c_n X_n(x) Y_n(y).
9. Aplicar las condiciones de contorno/iniciales restantes para determinar los coeficientes c_n (a menudo usando ortogonalidad, como en las series de Fourier).