Fórmulas de Números Complejos, Trigonometría y Geometría Analítica

Números Complejos

Los números complejos se fundamentan en la unidad imaginaria: √-1 = i. Sus potencias cíclicas son:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1

Formas de representación

• Forma binómica: Se compone de una parte real y una parte imaginaria (acompañada de i).
• Forma cartesiana: Se representa en los ejes cartesianos como un punto (a, b), donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.
• Forma polar: Representada como m_x, donde:
  • Módulo (m): √(a² + b²)
  • Argumento (x): arctg(b/a)
  • Ejemplo: 4_30º → 4(cos 30º + i sen 30º). Se resuelve sustituyendo los valores del coseno y del seno.

Conversiones y Operaciones

Pasar de forma polar a binómica

Se utiliza la fórmula: m(cos x + i sen x).

Ejemplo: Datos 3_300º → m = 3; z = 3(cos 300º + i sen 300º) → 3(1/2 - √3/2 * i).

Raíces de números complejos

√⁵(-32/i) = √⁵(32_90º) = √⁵(32_{(90º + 360k)/5}), donde k = 0, 1, 2, 3, 4.

• Si k = 0 → √⁵(32_90º/5) = 2_18º
• Si k = 1 → √⁵(32_(90+360)/5) = 2_90º
• Para k = 2 se suma (360)*2, y así sucesivamente dependiendo del índice de la raíz.

Ecuaciones

Para resolver z⁶ + 28z³ + 27 = 0, se realiza un cambio de variable t = z³ y se resuelve como una ecuación de segundo grado.

Trigonometría

Razones Trigonométricas Fundamentales

• sen = cateto opuesto / hipotenusa
• cos = cateto contiguo / hipotenusa
• tg = sen / cos

Reducción y Equivalencias

• sen 120º = sen 60º
• sen 135º = sen 45º
• tg -60º = tg 300º
• cos 210º = -cos 30º
• (30_90º)² = 3²_90*2

Identidades Trigonométricas

• sen(a + b) = sen a * cos b + sen b * cos a
• cos(a + b) = cos a * cos b - sen a * sen b
• tg(a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b)
• sen(a - b) = sen a * cos b - sen b * cos a
• cos(a - b) = cos a * cos b + sen a * sen b
• tg(a - b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a * tg b)
• sen 2a = 2 sen a * cos a
• cos 2a = cos² a - sen² a
• tg 2a = (2 tg a) / (1 - tg² a)

Transformaciones de Suma en Producto

• sen a + sen b = 2 sen[(a + b)/2] * cos[(a - b)/2]
• sen a - sen b = 2 cos[(a + b)/2] * sen[(a - b)/2]
• cos a + cos b = 2 cos[(a + b)/2] * cos[(a - b)/2]
• cos a - cos b = -2 sen[(a + b)/2] * sen[(a - b)/2]

Ángulo Mitad

• sen(a/2) = √((1 - cos a) / 2)
• cos(a/2) = √((1 + cos a) / 2)
• tg(a/2) = √((1 - cos a) / (1 + cos a))

Geometría Analítica

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación vectorial: (x, y) = (x₀, y₀) + t(a, b), donde (x₀, y₀) es el punto y (a, b) el vector director.
• Ecuación paramétrica: x = x₀ + at, y = y₀ + bt. Ejemplo: (x, y) = (1, 3) + (-3t, t) → x = 1 - 3t, y = 3 + t.
• Ecuación continua: t = (x - x₀)/a = (y - y₀)/b. Ejemplo: (x - 1)/-3 = (y - 3)/1.
• Ecuación general (implícita): Se despeja la continua: Ax + By + C = 0. Ejemplo: x + 3y - 10 = 0.
• Ecuación punto-pendiente: y - y₀ = m(x - x₀), donde m = tg x o m = b/a.
• Ecuación explícita: Se despeja la y: y = mx + n.

Vectores y Distancias

• Vector director: Para una recta r: Ax + By + C = 0, el vector director es (-B, A).
• Vector entre dos puntos: P₁(3, 5) y P₂(4, 2) → Vector = (4-3, 2-5) = (1, -3).
• Producto escalar de dos vectores: v · w = |v| * |w| * cos(v, w).
• Distancia entre dos puntos: d(A, B) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).
• Distancia de un punto a una recta: d(P, r) = |A*x₁ + B*y₁ + C| / √(A² + B²).
• Distancia entre dos rectas paralelas: d(r, s) = d(P, s), donde P es un punto de r.