Fórmulas y Principios Fundamentales de Mecánica de Fluidos

Conceptos Fundamentales en Mecánica de Fluidos

Caudal

El caudal (Q) representa el volumen de fluido que atraviesa una sección por unidad de tiempo.

• Definición Volumétrica: Q = Volumen / tiempo (m³/s)
• Definición por Velocidad y Área: Q = Velocidad · Área (m³/s)

Área

Para una sección circular:

A = π · r² = π · (D/2)² = π · D²/4

Teoremas y Leyes de Conservación

Teorema de Torricelli

Describe la velocidad de salida de un fluido por un orificio en un recipiente, bajo la acción de la gravedad:

v₂ = √(2 · g · H₁)

donde H₁ es la altura de la superficie libre del fluido sobre el orificio.

Ley de Conservación de la Masa (Ecuación de Continuidad)

Para un flujo estacionario, el gasto másico que entra a un volumen de control es igual al que sale.

Gasto Másico

El gasto másico (ṁ) es la masa de fluido que atraviesa una sección por unidad de tiempo:

• Definición: ṁ = masa / tiempo (kg/s)
• Relación con Caudal: ṁ = ρ · Q

Conservación del Gasto Másico

ṁ_salida = ṁ_entrada

ρ_salida · Q_salida = ρ_entrada · Q_entrada

Si el fluido es incompresible (densidad ρ constante):

v_salida · A_salida = v_entrada · A_entrada

Ley de Conservación de la Energía (Ecuación de Bernoulli)

Para un flujo incompresible, estacionario y sin fricción a lo largo de una línea de corriente:

(P / γ) + (v² / 2g) + z = H (carga total) = constante

donde:

• P: Presión
• γ: Peso específico del fluido
• v: Velocidad del fluido
• g: Aceleración de la gravedad
• z: Cota de elevación
• H: Carga total (en metros de columna de fluido)

Conservación del Momento Lineal

La fuerza resultante externa sobre un volumen de control es igual al cambio neto del flujo de momento lineal a través de sus superficies:

ΣF_externas = Σ(ṁ · v)_salida - Σ(ṁ · v)_entrada

donde F son fuerzas vectoriales y v son velocidades vectoriales.

Propiedades de los Fluidos

Peso Específico

El peso específico (γ) es el peso por unidad de volumen:

γ = ρ · g (N/m³)

Densidad Relativa

La densidad relativa (ρ_r) es la relación entre la densidad de una sustancia y la densidad de una sustancia de referencia (normalmente agua para líquidos):

ρ_r = ρ_sustancia / ρ_referencia

Ejemplo: ρ_glicerina / ρ_H₂O

Densidad del agua (ρ_H₂O) ≈ 1000 kg/m³

Peso específico de la glicerina (γ_glicerina) = ρ_glicerina · g (N/m³)

Viscosidad Cinemática

La viscosidad cinemática (ν) es la relación entre la viscosidad dinámica (μ) y la densidad (ρ):

ν = μ / ρ

Ejemplo de valor para agua a 20°C: ν ≈ 1.0 · 10⁻⁶ m²/s (el valor 1.1·10⁻⁶ del original es similar)

Régimen de Flujo

Número de Reynolds

El número de Reynolds (Re) es un número adimensional que ayuda a predecir los patrones de flujo en diferentes situaciones de flujo de fluido. Para flujo interno en tuberías:

Re = (v · D) / ν

donde:

• v: Velocidad media del flujo
• D: Diámetro de la tubería (Ø)
• ν: Viscosidad cinemática

Regímenes de Flujo (en tuberías circulares)

• Re < 2300: Flujo Laminar (ordenado)
• 2300 ≤ Re ≤ 4000: Flujo de Transición
• Re > 4000: Flujo Turbulento

Energía en Bombas y Turbinas

Estos dispositivos añaden o extraen energía del fluido, lo que se refleja como un cambio en la carga total (H) en la ecuación de Bernoulli extendida.

• Turbina: Extrae energía del fluido. La carga de la turbina (H_turb) es una pérdida en la ecuación de energía (W < 0).
• Bomba: Añade energía al fluido. La carga de la bomba (H_bomba) es una ganancia en la ecuación de energía (W > 0).

Potencia de la Bomba

La potencia añadida al fluido por una bomba es:

Potencia = γ · H_bomba · Q (W)

Pérdidas de Carga

En flujos reales, la fricción y otros efectos disipativos causan una disminución de la carga total a lo largo de la dirección del flujo. Estas son las pérdidas de carga (h_pérdidas).

Pérdidas por Fricción (Pérdidas Mayores)

Ocurren debido a la fricción entre el fluido y la pared de la tubería, y la fricción interna del fluido.

En un tramo horizontal (misma cota z) con caudal constante, las pérdidas de carga por fricción (h_f) se relacionan con la caída de presión:

h_f = (P₁ - P₂) / γ

Parámetros para Pérdidas por Fricción

• Rugosidad Absoluta (ε): Altura promedio de las irregularidades de la pared de la tubería (unidades de longitud, e.g., mm).
• Rugosidad Relativa (ε_r): ε_r = ε / D (adimensional, donde D es el diámetro).
• Relación Longitud/Diámetro: L / D (adimensional).

Ecuación de Darcy-Weisbach

Es la fórmula más común para calcular las pérdidas de carga por fricción en tuberías:

h_f = f · (L/D) · (v² / 2g)

donde f es el factor de fricción.

Factor de Fricción (f)

El factor de fricción (f) depende del régimen de flujo (Re) y de la rugosidad relativa (ε_r).

• Flujo Laminar (Re < 2300): f = 64 / Re
• Flujo Turbulento (Re > 4000): Se obtiene del Diagrama de Moody o mediante ecuaciones como la de Colebrook-White.

Ecuación de Colebrook-White

Ecuación implícita para el factor de fricción en flujo turbulento en tuberías rugosas:

1 / √f = -2 · log₁₀((ε_r / 3.7) + (2.51 / (Re · √f)))

Consideraciones en la Ecuación de Bernoulli Extendida

La ecuación de Bernoulli extendida incluye las pérdidas de carga y las cargas añadidas/extraídas por máquinas:

(P₁ / γ) + (v₁² / 2g) + z₁ + H_bomba = (P₂ / γ) + (v₂² / 2g) + z₂ + H_turbina + h_pérdidas

• Superficie Libre a Presión Atmosférica: Si un punto está expuesto a la atmósfera, la presión manométrica es cero (P/γ = 0).
• Grandes Depósitos o Embalses: La velocidad en la superficie libre de un gran depósito es despreciable (v²/2g ≈ 0).

Métodos de Resolución y Ejemplos

Método de Mallas (Hardy Cross para Redes de Tuberías)

Este método iterativo se utiliza para resolver redes de tuberías complejas.

Fórmula de Pérdida de Carga en función del Caudal

A menudo se expresa como: h_f = R · Qⁿ (donde n suele ser 2 para Darcy-Weisbach o 1.85 para Hazen-Williams)

A partir de Darcy-Weisbach, para n=2, el coeficiente R es:

R = (8 · f · L) / (g · π² · D⁵)

Nota: Las unidades de R son de pérdida de carga por caudal a la potencia n (e.g., m / (m³/s)²).

Aplicación del Método

Se basa en dos principios:

1. Conservación de la Masa en Nodos: La suma algebraica de los caudales en cada nodo es cero (ΣQ = 0).
2. Conservación de la Energía en Mallas: La suma algebraica de las pérdidas de carga en cada malla cerrada es cero (Σh_f = 0).

Corrección de Caudal (Método de Hardy Cross)

Para una malla, la corrección de caudal (ΔQ) se calcula iterativamente:

ΔQ = - (Σ R · Qⁿ) / (Σ |n · R · Qⁿ⁻¹|)

En el caso n=2:

ΔQ = - (Σ R · Q²) / (Σ |2 · R · Q|)

Nota: Si ΔQ es negativo, se ajusta el sentido del caudal supuesto en esa malla.

Carga Manométrica (mca)

Al aplicar la ecuación de Bernoulli extendida entre dos puntos, incluyendo bombas (H_bomba) y pérdidas (h_f), se puede obtener la carga en un punto. Si este punto es la descarga de una bomba, la carga calculada (P/γ + v²/2g + z) es la carga manométrica (mca) que la bomba debe proporcionar para alcanzar esas condiciones.

Si se calcula la carga en un punto donde no hay bomba, no se incluye el término H_bomba en la ecuación aplicada hasta ese punto.

Ejemplo de Cálculo de Pérdidas y Caudal (Gradiente de Pérdida)

Si se conoce el gradiente de pérdida por fricción (S = h_f / L), se puede usar la ecuación de Darcy-Weisbach:

S = f · (1/D) · (v² / 2g)

S = f · v² / (2 · g · D)

Conociendo S, D y g, se obtiene una relación entre f y v² (f · v² = constante). Para resolver, se suele requerir un método iterativo o el Diagrama de Moody, ya que f depende de v (a través de Re).

Una vez determinada la velocidad (v), el caudal (Q) se calcula como Q = v · A = v · (π · D² / 4).

Problema de Bifurcación (Dos Salidas)

Este tipo de problema se resuelve aplicando las leyes fundamentales:

1. Conservación de la Masa: Q_entrada = ΣQ_salida (Ejemplo: Q₁ = Q₂ + Q₃)
2. Conservación de la Energía (Bernoulli): Aplicada entre los puntos relevantes (e.g., entre la entrada y cada salida).
3. Conservación del Momento Lineal: Aplicada a un volumen de control que incluye la bifurcación para determinar las fuerzas resultantes (reacciones) sobre la tubería.

Aplicación del Momento Lineal

ΣF_externas = Σ(ṁ · v)_salida - Σ(ṁ · v)_entrada

Las fuerzas externas incluyen fuerzas de presión (P·A) y las fuerzas de reacción (R_x, R_y, R_z) ejercidas por los soportes.

Componente X: ΣF_x = Σ(ṁ · v_x)_salida - Σ(ṁ · v_x)_entrada

Componente Y: ΣF_y = Σ(ṁ · v_y)_salida - Σ(ṁ · v_y)_entrada

Componente Z: ΣF_z = Σ(ṁ · v_z)_salida - Σ(ṁ · v_z)_entrada

Ejemplo Numérico (basado en el texto original)

Cálculos de fuerzas de reacción (R_x, R_y) en un problema de bifurcación, aplicando la conservación del momento lineal.

Fuerzas de Presión (ejemplo):

• F₁ = P₁ · A₁ = 45000 Pa · π · (0.35 m)² ≈ 17318.08 N
• F₃ = P₃ · A₃ = 9444.3728 Pa · π · (0.15 m)² ≈ 667.85 N

Ecuación del Momento en X (basada en los valores proporcionados):

F₁ₓ - F₂ₓ - F₃ₓ + Rₓ = (ρ · Q₂ · v₂ₓ) + (ρ · Q₃ · v₃ₓ) - (ρ · Q₁ · v₁ₓ)

17318.08 - F₂ₓ - 667.85 + Rₓ = (1000 · 0.8796 · (-7 · cos30°)) + (1000 · 0.6597 · 9.333) - (1000 · 1.5393 · 4)

16650.23 + Rₓ ≈ -5331.8 + 6156.7 - 6157.2

16650.23 + Rₓ ≈ -5332.3

Rₓ ≈ -21982.53 N

Nota: El resultado original proporcionado (Rₓ = -11317.86 N) no coincide con los cálculos intermedios mostrados en el texto original. Puede haber errores en los valores numéricos o en la transcripción de las fórmulas.

Ecuación del Momento en Y (basada en los valores proporcionados):

ΣF_y + Rᵧ = Σ(ṁ · v_y)_salida - Σ(ṁ · v_y)_entrada

Rᵧ = (ρ · Q₂ · v₂ᵧ) + (ρ · Q₃ · v₃ᵧ) - (ρ · Q₁ · v₁ᵧ)

Asumiendo v₁ᵧ=0, v₃ᵧ=0 y v₂ᵧ = v₂ · sen30°:

Rᵧ = ρ · Q₂ · v₂ · sen30°

Rᵧ = 1000 kg/m³ · 0.879645 m³/s · 7 m/s · sen30°

Rᵧ ≈ 3078.76 N

Resultado original proporcionado:

Rᵧ = 3075.7575 N

Nota: El resultado original de Rᵧ coincide casi exactamente con el cálculo.