Fórmulas y Procedimientos de Geometría Analítica en el Espacio

Punto Simétrico

Para obtener el punto simétrico P' de un punto P respecto a un plano, se siguen estos pasos:

1. Teniendo el punto P y el vector normal del plano, sustituirlos en la ecuación del plano Ax + By + Cz + D = 0 para obtener D, donde A, B, C son las componentes del vector normal y x, y, z son las coordenadas del punto. Así, se obtiene la ecuación del plano.
2. Para hallar el punto medio M entre P y P', se sustituye en la ecuación del plano las coordenadas paramétricas (x, y, z) de la recta que pasa por P y tiene como vector director el vector normal del plano. Con esto, se obtiene el valor del parámetro λ.
3. Se sustituye el valor de λ en las ecuaciones paramétricas de la recta para obtener las coordenadas del punto medio M.
4. Finalmente, se utiliza la fórmula del punto medio: M = (P + P') / 2, despejando P' para obtener el punto simétrico.

Perpendicular Común a Dos Rectas

Para hallar la perpendicular común a dos rectas r y s, se procede de la siguiente manera:

1. Obtener un punto y un vector director de cada recta.
2. Calcular el producto vectorial de los dos vectores directores. Este producto vectorial será el vector director de la perpendicular común.
3. Hallar dos planos:

• Un plano que contenga a la recta r (usando el punto y el vector director de r) y sea paralelo al producto vectorial calculado anteriormente. Se obtiene mediante el determinante formado por (x, y, z) menos el punto de r, el vector director de r y el producto vectorial.
• Otro plano que contenga a la recta s (usando el punto y el vector director de s) y sea paralelo al producto vectorial. Se obtiene de manera similar al plano anterior, usando el punto y vector de s.

La recta perpendicular común será la intersección de estos dos planos.

Distancia Mínima Entre Dos Rectas que se Cruzan o se Cortan

La distancia mínima entre dos rectas r y s se calcula con la fórmula:

d(r, s) = |(AB) · (vr x vs)| / |vr x vs|

donde A es un punto de r, B es un punto de s, vr es el vector director de r, vs es el vector director de s, y · representa el producto escalar.

Distancia de un Punto a una Recta

La distancia de un punto P a una recta r se calcula con la fórmula:

d(P, r) = |v x AP| / |v|

donde v es el vector director de la recta r, A es un punto de la recta y AP es el vector que va desde A hasta P.

Ecuación de Segundo Grado

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0 es:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Distancia de un Punto a un Plano

La distancia de un punto P a un plano π se calcula con la fórmula:

d(P, π) = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²)

donde (x, y, z) son las coordenadas del punto P y (A, B, C) son las componentes del vector normal del plano.

Ángulo Entre Rectas

El coseno del ángulo entre dos rectas r y s se calcula con la fórmula:

cos(θ) = (vr · vs) / (|vr| * |vs|)

donde vr y vs son los vectores directores de las rectas r y s, respectivamente.

Ángulo Entre Planos

El coseno del ángulo entre dos planos π1 y π2 se calcula con la fórmula:

cos(θ) = |vn1 · vn2| / (|vn1| * |vn2|)

donde vn1 y vn2 son los vectores normales de los planos π1 y π2, respectivamente.

Plano Perpendicular a una Recta

Un plano perpendicular a una recta que contiene un punto P(p1, p2, p3) se define por la ecuación:

A(x - p1) + B(y - p2) + C(z - p3) = 0

donde (A, B, C) es el vector director de la recta.

Plano que Contiene una Recta

Se puede definir un plano que contiene una recta mediante un determinante que involucra un punto genérico (x, y, z), un punto de la recta y los vectores directores relevantes.

Ángulo Entre Recta y Plano

El seno del ángulo entre una recta r y un plano π se calcula con la fórmula:

sen(θ) = (vr · vn) / (|vr| * |vn|)

donde vr es el vector director de la recta y vn es el vector normal del plano.

• Si son paralelos, sen(θ) = 0, entonces vn · vr = 0 y d(r, π) = d(P, π), donde P es un punto de la recta.
• Si son perpendiculares, sen(θ) = 1.

Proyección de un Punto P sobre un Plano π

Para proyectar un punto P sobre un plano π:

1. Se considera la recta r que pasa por P y tiene como vector director el vector normal del plano (vr = vn).
2. Se calcula el valor del parámetro λ sustituyendo las coordenadas paramétricas de la recta en la ecuación del plano.
3. Se sustituye el valor de λ en las ecuaciones paramétricas de la recta para obtener el punto de intersección, que es la proyección de P sobre π.
4. La distancia entre P y su proyección se calcula como el módulo del vector que une ambos puntos.