Fracciones: Conceptos Esenciales, Medida y Operaciones Fundamentales

Significado de la Fracción en el Modelo de Medida

En general, dada una cantidad de magnitud (m) y una unidad de medida (u) de la misma magnitud, la fracción a/b u expresa la medida de la cantidad de magnitud m.

El denominador de la fracción (b) indica que, para poder efectuar la medida, hemos utilizado subunidades de medida de 1/b de unidad. También, que se ha fraccionado la unidad de medida en b partes iguales.

El numerador de la fracción (a) indica el número de subunidades de medida de 1/b de unidad que es necesario utilizar para completar la cantidad de magnitud m. Se verifica que a y b son números naturales y b no es cero.

Fracciones Equivalentes

Diremos que dos o más fracciones son equivalentes si expresan la medida de la misma cantidad de magnitud, aunque tengan diferentes numeradores y denominadores.

Este razonamiento permite justificar una regla de obtención de fracciones equivalentes a una dada, basada en la simplificación de fracciones. Su formulación simbólica es: A/B = (a ÷ n) / (b ÷ n). Un razonamiento que justifica esta regla es el siguiente: si después de medir una cantidad de magnitud con a subunidades de tamaño 1/b u, medimos la misma cantidad con subunidades de tamaño n veces mayor (de tamaño 1/(b ÷ n) u), entonces la cantidad se percibe descompuesta en a ÷ n subunidades de las de tamaño mayor.

Otra regla de obtención de fracciones equivalentes a una dada se basa en la ampliación de fracciones. Su formulación simbólica es: a/b = (a × n) / (b × n), siendo n un número natural cualquiera, no nulo.

Además, la regla para comprobar la equivalencia de fracciones es: a/b = c/d ⇔ a · d = b · c.

Comparación de Fracciones

Diremos que la fracción a/b es mayor (o menor) que c/d cuando la cantidad de magnitud que mide a/b u sea mayor (o menor) que la cantidad de magnitud que mide c/d u.

La regla para comparar fracciones a/b y c/d se enuncia del siguiente modo: a/b > c/d ⇔ a · d > b · c.

Reparto en Varias Fases

A cada individuo se le da una determinada cantidad, la que se considere oportuna; si queda alguna cantidad por repartir, se reitera el proceso, y así sucesivamente hasta que se agote la cantidad disponible.

Por tanto, si el reparto se hace en varias fases, surge la representación de las cantidades correspondientes a cada individuo como una suma de partes de la unidad de tamaños diferentes, es decir, como una suma de fracciones unitarias distintas.

Este sistema de representación, utilizado hasta el Renacimiento, no tiene reflejo en los textos escolares puesto que no tiene uso social debido a las dificultades operatorias que encierra.

Reparto en una Sola Fase

Cada una de las a unidades se fraccionan en b partes iguales, o bien, cada una de las a unidades se fraccionan en un número de partes iguales hasta conseguir tener un múltiplo de b subunidades.

Con esta técnica, cada individuo recibe a partes de tamaño 1/b de unidad.

Socializar Repartos

El reparto (a+c)/(b+d) tiene el significado de que todas las personas que participan en los repartos a/b y c/d se agrupan en un solo reparto y comparten el número de unidades (por ejemplo, tortillas) que se iban a repartir por separado.

La acción de compartir afecta a todo el colectivo, a todos los individuos que participan en los repartos a/b y c/d; es, por tanto, una distribución igualitaria entre los dos colectivos participantes en los dos repartos.

Por esto, esta acción podría denominarse “compartir o socializar repartos”.

Representación Polinómica Decimal

El reparto se realiza en fases de modo que en la primera fase se reparte el mayor número de unidades enteras y, si quedan unidades sobrantes, estas se fraccionan en 10 partes iguales y después se reparten.

Si siguen quedando partes sobrantes, se vuelven a fraccionar en 10 partes iguales y se reparten, y así sucesivamente.

El uso de esta técnica de reparto está sustentado en el hecho de que los números naturales los expresamos en base 10 y que la medida de las cantidades de magnitudes las expresamos según el Sistema Métrico Decimal, donde los sistemas de unidades y sus múltiplos o submúltiplos están relacionados mediante potencias de 10.