Fracciones y Números Racionales: Propiedades y Operaciones

Fracciones y Números Racionales

Definición de Fracción

Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros a/b, en el que a es el numerador y b es el denominador y donde b no puede ser 0.

Tipos de Fracciones

• Fracción propia: el valor absoluto del numerador es menor que el valor absoluto del denominador: |a| < |b|. Ejemplo: 2/5
• Fracción impropia: el valor absoluto del numerador es mayor que el valor absoluto del denominador |a| > |b|. Este tipo de fracciones se pueden escribir como un número mixto que es la suma de un número entero y una fracción propia. Ejemplo: 4/3

Números Racionales

Los números racionales son los que se pueden expresar mediante una fracción. Su conjunto se representa con la letra Q.

Fracciones Equivalentes

Dos fracciones a/b y c/d son equivalentes, lo que se representa como a/b = c/d, si se verifica que: a*d = b*c. Dos fracciones son equivalentes si, al realizar la división, se obtiene el mismo valor.

Comparación de Fracciones

• Si tienen el mismo denominador y distinto numerador es mayor la de mayor numerador.
• Si tienen el mismo numerador y distinto denominador, y los numeradores son positivos es mayor la de menor denominador.
• Si tienen distinto numerador y denominador se reducen a común denominador y es mayor la de mayor numerador.

Propiedades de las Operaciones con Números Racionales

Suma

• Conmutativa: si se cambia el orden de los sumandos el resultado no se altera.
• Asociativa: si se agrupan los sumandos de diferente manera, el resultado no se altera.
• Elemento neutro: el elemento que, sumando a cualquier número, no modifica el resultado. Es el 0.
• Elemento opuesto: al sumar un número racional y su opuesto, se obtiene el elemento neutro. a/b + (-a/b) = 0

Resta

No cumple ni la propiedad conmutativa ni la asociativa. El elemento neutro sí existe.

Multiplicación

• Cumple las mismas propiedades que la suma, pero su elemento neutro es el 1 y no tiene elemento opuesto, tiene elemento inverso, que significa que al multiplicar un número racional por su inverso, se obtiene el elemento neutro.
• Distributiva respecto de la suma: el producto de un número racional por la suma de dos es igual a la suma de los productos del número racional por cada uno de los componentes.
• Distributiva respecto a la resta: el producto de un número racional por la resta de dos es igual a la resta de los productos del número racional por cada uno de los componentes.

División

No cumple ni la propiedad conmutativa ni la asociativa. El elemento neutro es el 1.

Multiplicación de Fracciones

La multiplicación de dos o más números racionales es otro número racional que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

División de Fracciones

La división de dos números racionales es otro número racional cuyo numerador es el producto del numerador del primero por el denominador del segundo y cuyo denominador es el producto del denominador del primero por el numerador del segundo.

Fracción Generatriz

• Decimal exacto: Número decimal sin coma dividido entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el número.
• Decimal periódico puro: Número decimal sin coma ni periodo menos parte entera dividido entre tantos 9 como cifras decimales tenga el periodo.
• Decimal periódico mixto: Número decimal sin coma ni periodo menos parte entera y anteperiodo dividido entre tantos 9 como cifras tenga el periodo seguido de tantos 0 como cifras tenga el anteperiodo.