Fuerzas Centrales y Gravitación: De las Órbitas Planetarias a la Velocidad de Escape

Fuerzas Centrales y el Campo Gravitatorio

¿Qué es una Fuerza Central?

Se dice que un campo de fuerzas es central cuando la dirección del vector fuerza, definido en cada punto del espacio, pasa siempre a través de un punto fijo O, denominado centro del campo de fuerzas.

Matemáticamente, se expresa como:

F(r) = f(r) u_r

donde f(r) es una función escalar que depende del módulo del vector de posición r, y u_r es el vector unitario en la dirección radial.

Conservación del Momento Angular

Al calcular el momento de la fuerza respecto al centro O, obtenemos:

M_O = r × F(r) = r × f(r) u_r = 0

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema del momento angular, el momento angular (L_O) se conserva:

L_O = r × mv = constante

Conservación de la Energía

Si el campo de fuerzas centrales es, además, conservativo y su energía potencial depende únicamente del módulo de r (E_p(r)), la energía mecánica de la partícula también se conserva:

E = ½mv² + E_p(r) = constante

La Fuerza de la Gravitación Universal

Un caso fundamental de fuerza central y conservativa es la fuerza gravitatoria, cuya expresión es:

F(r) = - (GMm/r²) u_r

donde G ≈ 6.67 × 10^-11 Nm²kg^-2 es la constante de gravitación universal, y M y m son las masas de los cuerpos que se atraen mutuamente. Se supone que M >> m, de forma que la masa M permanece fija en el centro de fuerzas, mientras que la masa m se mueve a su alrededor.

Energía Potencial Gravitatoria

Dicha fuerza es conservativa. Estableciendo el origen de energía potencial en el infinito, se obtiene:

E_p(r) = -∫_∞^r F · dr = -GMm/r

Así, la expresión de la energía mecánica total para este caso es:

E = ½mv² - GMm/r = constante

Velocidad de Escape

La velocidad de escape de un cuerpo situado en la superficie de un planeta es la velocidad mínima que se le debe proporcionar para que pueda escapar de la atracción gravitatoria del planeta y alejarse hasta el infinito.

La condición para que esto ocurra es que su energía mecánica total sea mayor o igual a cero (E ≥ 0). A partir de la ecuación anterior, se obtiene la velocidad de escape (v_e):

v_e ≥ √(2GM/R)

donde M y R son la masa y el radio del planeta, respectivamente.

Las Leyes de Kepler del Movimiento Planetario

Las leyes fundamentales que rigen el movimiento de los planetas fueron enunciadas por Johannes Kepler y se conocen como las tres leyes de Kepler:

1. Primera Ley: Los planetas describen órbitas elípticas, con el Sol situado en uno de sus focos.
2. Segunda Ley: El vector de posición de cualquier planeta respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley es una consecuencia directa de la conservación del momento angular del planeta.
3. Tercera Ley: Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas.

   Demostración para Órbitas Circulares

   Esta ley se puede deducir fácilmente para el caso particular de una trayectoria circular. Aplicando la segunda ley de Newton a un planeta de masa m_p que se mueve con velocidad v en una órbita circular de radio r alrededor del Sol (masa M_S), tenemos que la fuerza gravitatoria es igual a la fuerza centrípeta:

   F = (GM_Sm_p)/r² = m_pv²/r

   Donde M_S es la masa del Sol. Despejando v², tenemos:

   v² = (GM_S)/r

   Sabiendo que la velocidad en un movimiento circular es v = 2πr/T, podemos igualar las expresiones:

   (2πr/T)² = (GM_S)/r

   Finalmente, despejando el período al cuadrado (T²), obtenemos la relación de la tercera ley:

   T² = (4π²/GM_S) · r³