Fuerzas Conservativas y Leyes de Kepler: Conceptos Fundamentales de Física

Bloque 1: Fuerzas Conservativas y Energía Potencial Gravitatoria

Fuerzas Conservativas

Para muchos tipos de fuerzas, el trabajo que realizan al desplazar un cuerpo entre dos puntos cualesquiera depende del camino seguido (fuerzas de rozamiento). No ocurre así en el caso de un tipo particular de fuerzas que reciben el nombre de fuerzas conservativas. Una fuerza conservativa es una fuerza capaz de devolver el trabajo que se realiza contra ellas. Se caracterizan por realizar un trabajo que solo depende de las posiciones inicial y final, y no de la trayectoria del recorrido. Por este motivo, cuando el trabajo se realiza en una trayectoria cerrada, es cero. Esta es una propiedad que presentan las fuerzas centrales. Los campos en los que se presentan estas fuerzas reciben a su vez el nombre de conservativos.

Teniendo en cuenta que la realización de un trabajo va acompañada de una variación igual de energía, podemos definir un nuevo tipo de energía asociada a la posición. De forma que se cumple que el trabajo realizado por dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de esa energía que recibe el nombre de potencial y que solo depende de las coordenadas.

Energía Potencial Gravitatoria

Para deducir la expresión de la energía, vamos a calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria desde un punto de partida (el infinito) hasta un punto cualquiera del campo situado a una distancia r del objeto que crea el campo:

(El resultado anterior se obtiene por aplicación de las propiedades de las integrales definidas). Sustituyendo, llegamos a la expresión: si establecemos el origen de la energía potencial (el cero) en el infinito:

que es el valor que adquiere la energía potencial de un objeto de masa m' que se encuentra a una distancia r del objeto de masa m que crea el campo.

La energía potencial es siempre negativa y crece a medida que nos alejamos de la superficie de la Tierra.

Bloque 2: Leyes de Kepler

Primera Ley de Kepler

Todos los planetas describen órbitas elípticas planas en su movimiento alrededor del Sol, que se sitúa en uno de sus focos.

Como el vector L es constante en el sistema, no cambia ni su módulo, ni su dirección, ni su sentido (estando orientado perpendicular al plano elíptico, hacia arriba, con sentido antihorario). Por lo tanto, no cambia el plano.

Segunda Ley de Kepler

Las órbitas que describe la Tierra en su movimiento alrededor del Sol lo hacen “barriendo” áreas iguales en tiempos iguales, es decir, la velocidad areolar se mantiene constante.

Demostración: En un tiempo dt un planeta recorre un espacio

Si observamos el dibujo, el área del triángulo que se forma vendrá dado por:

Recordemos que el producto vectorial representa el área del paralelogramo.

Se demuestra que el área barrida depende de la masa, del módulo del momento angular y del tiempo. La masa es constante en el desplazamiento, el momento angular L es constante, como ya mencionamos en la primera ley, por ser las fuerzas gravitatorias fuerzas centrales y estar en ausencia de fuerzas exteriores. Se cumplirá que, para un mismo periodo de tiempo, el área barrida será la misma.

Esto indica que los planetas cuando atraviesan el perihelio de su órbita (zona más cercana al Sol) viajan más deprisa que en el afelio (zona más alejada del Sol) pues deben recorrer la misma área cuando el radio es menor.

Tercera Ley de Kepler

Los cuadrados de los períodos de revolución de dos planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas en su movimiento de rotación alrededor del Sol. T²= k.R³