Funciones Diferenciables: Conceptos, Teoremas y Aplicaciones

Funciones Diferenciables

Definición

Consideremos una función f(x) definida en un entorno E(a,δ). Decimos que f(x) es diferenciable en x = a si existe un número real constante, A, tal que para todo h que cumpla que a + h ∈ E(a,δ), el incremento de la función al pasar del punto a al punto a + h se puede expresar como:

Δf = f(a + h) - f(a) = Ah + hε(h), con lim_h→0 ε(h) = 0

Relación entre Diferenciabilidad y Derivabilidad

Teorema

Una función f(x) es diferenciable en un punto x = a si y solo si dicha función es derivable en x = a.

f(a + h) - f(a) = f'(a)h + hε(h), con lim_h→0 ε(h) = 0

Demostración

Implicación directa: f(x) diferenciable en x = a ⇒ f(x) derivable en x = a.

Como f(x) es diferenciable en x = a, f(a + h) - f(a) = Ah + hε(h), con lim_h→0 ε(h) = 0. Ahora, utilizando la definición de derivada, se tiene:

f'(a) = lim_h→0 [f(a + h) - f(a)] / h = lim_h→0 [Ah + hε(h)] / h = lim_h→0 [A + ε(h)] = lim_h→0 A + lim_h→0 ε(h) = A.

Por tanto, no solo hemos demostrado que si una función es diferenciable es derivable, sino que hemos comprobado que el valor finito de dicha derivada es precisamente la constante A introducida en la definición de diferenciabilidad.

Diferencial de una Función en un Punto

Definición

Dada una función diferenciable en x = a, se llama diferencial de y = f(x) en x = a con un incremento de la variable independiente h, y se denota df(a, h), a la parte principal del incremento de la función, es decir:

df(a, h) = f'(a)h

Interpretación Geométrica de la Diferencial

Teniendo en cuenta que f'(a) = tan α, se observa que df(a, dx) representa el incremento de ordenada medido sobre la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto a, al pasar del punto x = a al punto x = a + dx.

Crecimiento y Decrecimiento

Una función f(x) es creciente o decreciente en un punto x = a si y solo si existe un entorno E(a, δ) tal que para todo x₁, x₂ ∈ E(a, δ), con x₁ ≤ a ≤ x₂, se verifica f(x₁) ≤ f(a) ≤ f(x₂) o f(x₁) ≥ f(a) ≥ f(x₂), respectivamente. Si solo se verifican las desigualdades para x ≠ a, se dice que f(x) es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, respectivamente, en x = a.

Funciones Cóncavas y Convexas

Una función f(x) es convexa o cóncava en un intervalo I cuando para todo x₁, x₂ ∈ I con x₁ < x₂ y para todo x ∈ (x₁, x₂), la gráfica de la función f(x) está por debajo o por encima, respectivamente, del segmento lineal que une los puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)).