Funciones Exponenciales y Logarítmicas: Conceptos, Gráficas y Propiedades Esenciales

Funciones Exponenciales: Conceptos Fundamentales

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x como f(x) = ax, donde a es la base y x es el exponente. Es importante que la base cumpla con las condiciones a > 0 y a ≠ 1.

Características de la Gráfica de f(x) = a^x

• Dominio: ℝ (todos los números reales)
• Rango: ℝ⁺ (todos los números reales positivos, es decir, (0, ∞))
• Asíntota Horizontal (AH): y = 0 (el eje x)
• Intersección con el eje x: No tiene.
• Intersección con el eje y: En el punto (0, 1).
• Inyectividad: Siempre es inyectiva.
• Sobreyectividad: Nunca es sobreyectiva (en su codominio ℝ).

Transformaciones de Funciones Exponenciales

Función Exponencial con una Constante Sumada

La función se expresa como y = ax + c, donde a > 0, a ≠ 1, y x, c ∈ ℝ. La constante c indica el desplazamiento vertical de la gráfica y también define la nueva asíntota horizontal.

Ejemplo: y = 2x - 1

• Dominio: ℝ
• Rango: (-1, ∞)
• Asíntota Horizontal: y = -1

Función Exponencial Multiplicada por una Constante

La función se expresa como y = k ⋅ ax, donde a > 0, a ≠ 1, x ∈ ℝ y k ≠ 0. La constante k indica el crecimiento o decrecimiento de la función y el punto de intersección con el eje y ((0, k)).

Ejemplo: y = (-3) ⋅ (2x)

• La asíntota horizontal y = 0 se mantiene.
• Si k < 0, la gráfica se refleja con respecto al eje x.

Función Exponencial con Exponente Negativo

La función se expresa como y = a-x.

• Esta transformación refleja la curva con respecto al eje y.

Funciones Logarítmicas: Definición y Propiedades

La función logarítmica con base a, denotada como loga, se define como loga x = y si y solo si ay = x. Al igual que con las funciones exponenciales, la base debe cumplir con a > 0 y a ≠ 1.

Características de la Gráfica de y = log_a x

• Dominio: (0, ∞) (el argumento x siempre debe ser mayor que 0).
• Rango: ℝ (todos los números reales).
• Intersección con el eje x: En el punto (1, 0).
• Intersección con el eje y: No existe.
• Asíntota Vertical (AV): x = 0 (el eje y). Para determinar la asíntota vertical, se iguala el argumento a cero.

Transformaciones de Funciones Logarítmicas

Desplazamiento Horizontal

La función se expresa como y = loga (x + c). La constante c desplaza la gráfica horizontalmente:

• Si c < 0, la gráfica se desplaza hacia la derecha.
• Si c > 0, la gráfica se desplaza hacia la izquierda.

Escalado Horizontal

La función se expresa como y = loga (cx + b). Mientras mayor sea el valor absoluto de c, más se acerca la curva al eje y (compresión horizontal). Si c < 0, la gráfica se refleja horizontalmente.

Propiedades Fundamentales de los Logaritmos

Estas propiedades son esenciales para simplificar expresiones logarítmicas y resolver ecuaciones. Para todas las propiedades, se asume que a > 0 y a ≠ 1.

1. Logaritmo de 1: loga 1 = 0
2. Logaritmo de la Base: loga a = 1
3. Logaritmo de un Producto: loga (M ⋅ N) = loga M + loga N

   Condiciones: a, M, N ∈ ℝ; a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0.

   Demostración:

   Sea loga M = T, lo que implica aT = M.

   Sea loga N = Z, lo que implica aZ = N.

   Multiplicando las expresiones exponenciales: aT ⋅ aZ = M ⋅ N

   Aplicando la propiedad de los exponentes: aT+Z = M ⋅ N

   Tomando loga en ambos miembros:

   loga (aT+Z) = loga (M ⋅ N)

   Por la propiedad loga ac = c: T + Z = loga (M ⋅ N)

   Sustituyendo T y Z: loga M + loga N = loga (M ⋅ N)

4. Logaritmo de un Cociente: loga (M / N) = loga M - loga N

   Condiciones: a, M, N ∈ ℝ; a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0.

   Demostración:

   Sea loga M = T, lo que implica aT = M.

   Sea loga N = Z, lo que implica aZ = N.

   Dividiendo las expresiones exponenciales: aT / aZ = M / N

   Aplicando la propiedad de los exponentes: aT-Z = M / N

   Tomando loga en ambos miembros:

   loga (aT-Z) = loga (M / N)

   Por la propiedad loga ac = c: T - Z = loga (M / N)

   Sustituyendo T y Z: loga M - loga N = loga (M / N)

5. Logaritmo de una Potencia: loga MN = N ⋅ loga M

   Condiciones: a, M, N ∈ ℝ; a > 0, a ≠ 1, M > 0.

   Demostración:

   Sea loga M = T, lo que implica aT = M.

   Elevando M a la potencia N: (aT)N = MN

   Aplicando la propiedad de los exponentes: aT⋅N = MN

   Tomando loga en ambos miembros:

   loga (aT⋅N) = loga MN

   Por la propiedad loga ac = c: T ⋅ N = loga MN

   Sustituyendo T: N ⋅ loga M = loga MN

6. Cambio de Base: loga M = logb M / logb a

   Condiciones: a > 0, a ≠ 1, M > 0, b > 0, b ≠ 1.

   Demostración:

   Sea loga M = T, lo que implica aT = M.

   Tomando logb en ambos miembros: logb (aT) = logb M

   Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia: T ⋅ logb a = logb M

   Despejando T: T = logb M / logb a

   Sustituyendo T: loga M = logb M / logb a

7. Potencia de un Logaritmo: (loga b)c (Esta notación es inusual y puede referirse a loga (bc) o logac b. Si es loga (bc), entonces es c ⋅ loga b. Si es logac b, entonces es (1/c) ⋅ loga b. Se mantiene la notación original con formato claro.)
8. Identidad Exponencial-Logarítmica: aloga x = x
9. Identidad Logarítmica-Exponencial: loga ac = c