Funciones, límites y derivadas

Dominio: exponencial, polinómica o raíz de índice impar todos los reales. Función de índice par todos los reales que hacen que el radicando sea positivo o igual a 0. Ejemplo: f(x)= raíz de 7x-3. Dom: [3/7, + infinito). Logarítmica todos los que hacen que sea positiva. Racional todos los reales menos los que anulan el denominador. Operaciones con funciones

(f+g)(x) = f(x) + g(x), producto: f(x)• g(x), cociente igual. Composición de funciones g(f(x)) 1 f y después g f(x) = 2x+3, g(x)= x²-4

g( f(x)) = (f(x)) ²-3 = (2x+3) ²-4 g( f(x)) = 4x² + 12x + 5

Crecimiento y decrecimiento: derivar f(x) igual a 0 estudiar signo f’(x). Continuidad y discontinuidad. f(a) es continua si existe la función en ese punto, los límites laterales coinciden, y coincide el valor de la función y los límites. Tipos de discontinuas: evitable o bien no existe el valor de la función o no coinciden los límites. Inevitable de salto finito no coincide el valor de los laterales. De salto infinito límites dan +-infinito. Asíntotas verticales hay que buscarlas en los puntos fuera del dominio y tienen que dar infinito, hay cuando el grado del den es mayor que el num. Horizontales límite tendiendo a infinito, suele haber cuando los grados de la función son iguales en num y den. Características función exponencial: aplicación económica- C(t)= Co (1+r)^t. Logarítmicas: recorrido -inf, +inf. si a>1 f(x) creciente, si a está entre 0-1 decreciente.

Calculo práctico de límites. Caso inmediato simplemente sustituir, cuando una polinómica tienda a infinito se sustituye infinito en el de mayor grado y dará infinito. El caso k/0 el 0 de abajo es constante solo se estudia el signo. Indeterminaciones.  inf/inf si el grado es mayor en el den que num va a dar 0 simplificando x de los dos de mayor grado. Si es mayor el num que den va a dar inf ya que quedan más x arriba que abajo. Si son iguales dará lo que de la fracción. 0/0. en expresiones racionales se factoriza o bien usamos l hopital haciendo derivada de arriba y abajo y sustituyendo y en raíces racionalizamos. Exponenciales cuando x tiende a inf e^inf= inf, e^-inf= 0, 2^-inf= 0. Logarítmicas: se pasa el logaritmo alante y queda como resultado log o ln del límite de lo d dentro. Trigonometría: no existen los límites. Teorema de Bolzano, si una función es continua en el intervalo cerrado y toma signos distintos en sus extremos, entonces corta al eje en algún punto de ese intervalo. Ejemplo: x3-3x-1 es continua en [1,2] 

f(1)= da negativo y (2) positivo por lo que hay algún número c mayor que 1 y menor que 2 f(c)=0. Di el valor de los dos puntos me da el mismo que en el otro no es continua. tienen que ser signos diferentes.

Derivada d la función en un punto, primer derivada y lgo sustituir ahí. Recta tangente: y- f(a)= f’(a)(x-a). Problema. Determinar valores de los parámetros a b y c para que f(x)=a(x-1)^3 +bx+c pase por el punto (1,1)= f(1)=1. En 1,1 su tangente tenga pendiente 2, f’(1)=2. Máximo en x=2 f’(x)=0.

Derivabilidad, para que f sea derivable tiene que ser continua y los límites laterales de la derivada tienen que coincidir.

Suma/Resta (f±g)'(x) = f'(x) ±g'(x)

Producto por escalar (k.f)'(x) = k·f'(x)

Producto (f.g)= f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

Cociente (f/g)= f'(x) g(x)-f(x).g'(x) /g(x)²

Composición (Regla de la cadena) (g (f(x)) = g'(g(x))-f'(x)

1. constante= 0, identidad=1. Potencial= x7= 7x6, exponencial: 3^6x3-3x= 3^6x3-3x • ln3 • 18x2-3 ,potencial-exponencial por partes, Logarítmica: logaritmo en base 6 (3x^4-8)= 12x^3/ 3x4-8 x log base 6 elevado a e. ,,lne= 1, lnx= 1/x , derivada de raíz de x= 1/ 2•raíz d x

Aplicación económica de la derivada. Coste marginal= C(x+1)-C(x). Ingreso marginal derivada y Beneficio ingreso- coste. 

Derivación implícita: x³ + y² = 6x²y³

[3x² + y³] = [6x²y³] 

3x² + 3y².y' = 12x.y³ + 6x².3y².y'

3x² + 3y² y'= 12x. y³ + 18x²y².y'

3 y'(3y² 18x²y²) = 12x. y³ - 3x²

y' = 12x. y³ - 3x² / 3y² - 18x²y²

teorema de rolle= Si f es continua en el intervalo [a,b], derivable en (a,b) y f(a) = f(b) entonces existe al menos un punto c € (a, b) tal que f' (c) = 0. f(x)= x^2 + x+2 [-2,1] 

f(-2)= 4, f(1)= 4. Existe un punto c en el que la derivada vale 0. Igualamos a 0 la derivada y sale c=-1/2. Con parámetros calculamos los dos valores y los igualamos para sacar c, después para a y b continuidad y derivabilidad.