Funciones Lineales, Afines y Potencia: Características y Gráficas Esenciales

Función Lineal

La función lineal es una línea recta que pasa por el origen (0,0). Su expresión algebraica es del tipo y = mx.

Características de la Función Lineal

• Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen (0,0).
• El número m se llama pendiente.
• La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
• El ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo si m > 0 y obtuso si m < 0.
• Su relación con la función potencia: a = m y n = 1.

Función Afín

La función afín es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y = mx + n, siendo m un número cualquiera distinto de 0 y n ≠ 0. Su gráfica es una línea recta que no pasa por el origen.

Características de la Función Afín

• Su gráfica es una línea recta que no pasa por el origen.
• La ordenada en el origen es n, es decir, el punto donde la recta corta el eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son (0, n).
• El número m se llama pendiente.
• La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.
• El ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo si m > 0 y obtuso si m < 0.
• Su relación con la función potencia: a = m y n = 1.

Función Potencia: y = axⁿ

La función potencia se expresa como y = axⁿ. Sus características varían significativamente según los valores de a y n.

Caso 1: n es par positivo y a > 0

Ejemplo: Dada la función f(x) = 2x², con dominio dom f = {-2, -1, 0, 1, 2}.

Características (n par y a > 0)

• Su gráfica es una parábola, con centro en el origen (0,0).
• Es cóncava hacia arriba.
• Tiene un punto mínimo en (0,0).
• Si el exponente es un entero positivo, no hay restricciones para los valores de x. El Dominio Dom f = ℝ (todos los números reales).
• El Recorrido Rec f es siempre positivo o cero: Rec f = [0, ∞).
• La gráfica se encuentra siempre en el primer y segundo cuadrante.
• La forma de la gráfica de f(x) = axⁿ, con n par positivo, es similar a una parábola, aunque realmente la curva es una parábola solo en el caso de n = 2.

Caso 2: n es par positivo y a < 0

Características (n par y a < 0)

• Su gráfica es una parábola, con centro en el origen (0,0).
• Es cóncava hacia abajo.
• Tiene un punto máximo en (0,0).
• Si el exponente es un entero positivo, no hay restricciones para los valores de x. El Dominio Dom f = ℝ.
• El Recorrido Rec f es siempre negativo o cero: Rec f = (-∞, 0].
• La gráfica se encuentra siempre en el tercer y cuarto cuadrante.

Caso 3: n es impar y a > 0

Características (n impar y a > 0)

• El Recorrido de la función, independientemente del valor que tome a, es el conjunto de los números reales: Rec f = ℝ.
• La gráfica de la función se encuentra en el primer y tercer cuadrante.
• La función siempre es creciente.
• La gráfica pasa por el origen (0,0).

Caso 4: n es impar y a < 0

Características (n impar y a < 0)

• El Recorrido de la función, independientemente del valor que tome a, es el conjunto de los números reales: Rec f = ℝ.
• La gráfica de la función se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante.
• La función siempre es decreciente.
• La gráfica pasa por el origen (0,0).