Funciones matemáticas: definición, pendiente, composición y conceptos estadísticos

Función: definición y conceptos básicos

Función es la relación entre dos magnitudes (variables) de modo que a cada valor de la primera variable se le asigna un único valor de la segunda.

Imagen → función → preimagen/contraimagen.

Una función se puede representar por diagramas, gráficos o mediante una expresión algebraica.

Representación en ejes y coordenadas

En el eje x se colocan los valores independientes y en el eje y los valores dependientes. Un par ordenado se escribe (x, y): la abscisa es la coordenada x y la ordenada es la coordenada y.

Formas de representación

• Diagramas
• Gráficos
• Expresión algebraica

Función lineal

Una función lineal es una función de proporcionalidad directa: f(x) = m x. Se dice que es de proporcionalidad constante. Su gráfica es una recta que pasa por el origen (0, 0) cuando no hay término independiente.

Notación: F(x) = m x — intercepta el origen (0, 0).

m es la pendiente o coeficiente de proporcionalidad.

Pendiente de una recta

La pendiente m de una recta que pasa por dos puntos se calcula con la expresión:

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Ejemplo: A(2, 3) y B(4, 5)

m = (5 − 3) / (4 − 2) = 2 / 2 = 1

Observación: el eje horizontal corresponde a x (izquierda–derecha) y el eje vertical a y (abajo–arriba).

Función afín

Una función afín tiene la forma F(x) = m x + n, donde m es la pendiente y n es el coeficiente de posición (ordenada al origen). La intersección con el eje y ocurre en el punto (0, n).

Ejemplo: F(x) = 1x + 2

• x = −1 → F(−1) = −1 + 2 = 1
• x = 0 → F(0) = 0 + 2 = 2
• x = 1 → F(1) = 1 + 2 = 3
• x = 2 → F(2) = 2 + 2 = 4

Primero: x = dominio. Segundo: y = recorrido (codominio o imagen según el contexto).

Composición de funciones

La composición de funciones se denota (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Sea g(x) = 2x + 1 y f(x) = 3x.

Entonces:

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(3x) = 2(3x) + 1 = 6x + 1

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = 3(2x + 1) = 6x + 3

(g ∘ f)(x) ≠ (f ∘ g)(x) — la composición de funciones no es conmutativa en general.

Conceptos estadísticos relacionados

Rango

Rango: diferencia entre el dato máximo y el dato mínimo.

Amplitud de intervalo

Amplitud (a) de un intervalo: diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la clase. Si se conoce el rango y el número de intervalos, la amplitud se puede calcular como:

a = rango / número de intervalos

Marca de clase

Marca de clase: promedio entre el límite inferior y el límite superior de la clase (es decir, (límite inferior + límite superior) / 2).

Tablas de frecuencia

Tabla de frecuencias: tipo de representación que permite organizar datos.

• Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un dato.
• Frecuencia absoluta acumulada: suma de frecuencias absolutas de valores menores o iguales al valor de la variable en cuestión. El último valor debe ser igual al número total de datos.