Fundamentos de Álgebra Abstracta: Operaciones y Estructuras de Grupo, Anillo y Cuerpo

Escrito el 14 de Noviembre de 2025 en español con un tamaño de 23,1 KB

COMPOSICIÓN INTERNA: se puede definir como, GXG -> G Dado un conjunto A y una operación $\odot$ , que representaremos $(A, \odot )$ :

$\begin{array}{rccl} \odot : & A \times A & \to & A \\ & (a,b) & \to & c = a \odot b \end{array}$

PROPIEDADES Conmutatividad

$\forall a, b \in A \, : \quad a \odot b = b \odot a$

Asociatividad

$\forall a, b, c \in A \, : \quad (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$

$\nexists a, b, c \in A \, : \quad (a \odot b) \odot c \ne a \odot (b \odot c)$

Distributividad

Distributividad por la izquierda

$\forall a, b, c \in A \, : \quad a \odot (b \circledcirc c) = (a \odot b) \circledcirc (a \odot c)$

Distributividad por la derecha

$\forall a, b, c \in A \, : \quad (a \circledcirc b) \odot c= (a \odot c) \circledcirc (b \odot c)$

Elemento neutro

$\forall a \in A \, , \quad \exists e \in A \, : \quad a \odot e = a$

Elemento simétrico

$\forall a \in A \, , \quad \exists \overline{a} \in A \, : \quad a \odot \overline{a} = \overline{a} \odot a = e$

Elemento simétrico por la izquierda

$\forall a \in A \, , \quad \exists \overrightarrow{a} \in A \, : \quad \overrightarrow{a} \odot a = e$

Elemento simétrico por la derecha

$\forall a \in A \, , \quad \exists \overleftarrow{a} \in A \, : \quad a \odot \overleftarrow{a} = e$

ESTRUCTURA DE GRUPO: Llamamos estructura grupal al ordenamiento y distribución funcional y jerárquico consistente y estable que emerge a partir de la interacción -basada en la cooperación, la semejanza y la proximidad- del que resulta un patrón de relaciones de prestigio, deferencia, sumisión, o aquiescencia repetidas y permanentes reflejo del consenso evaluativo y normativo alcanzado por los miembros. PROPIEDADES DE ESTRUCTURA DE GRUPO: Asociativa, Elemento neutro Y Elemento simétrico. SUBGRUPO: En álgebra, dado un grupoGcon una operación binaria*, se dice que un subconjuntono vacío Hde Gesun subgrupode Gsi Htambién forma un grupo bajo la operación *. O de otro modo, Hes un subgrupo de Gsi la restricciónde * a Hsatisface los axiomas de grupo. ESTRUCTURA DE ANILLO:un anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto no vacío y dos operaciones internas, llamadas usualmente «suma» y «producto», que cumplen ciertas propiedades. En términos más específicos, se define a la terna (A,+,•) como anillo si (A,+) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convencíón, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el inverso con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a. ESTRUCTURA DE CUERPO: un cuerpoo campoes una estructura algebraicaen la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa, conmutativay distributivade la multiplicación respecto de la adición,1además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustraccióny división(excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

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