Fundamentos de Álgebra: Ecuaciones, Sucesiones y Productos Notables Esenciales

1. Problemas de Edades

Paso 1: Identificar Variables

Asigna variables a las edades de las personas. Por ejemplo:

• x: edad de la persona A.

• y: edad de la persona B.

Paso 2: Plantear las Ecuaciones

Formula ecuaciones basadas en la información del problema. Considera las relaciones actuales y pasadas:

• Diferencias de edad: "La persona A es 10 años mayor que la persona B":

  x=y+10x = y + 10x=y+10

• Suma de edades: "La suma de las edades de A y B es 50":

  x+y=50x + y = 50x+y=50

• Edades pasadas: "Hace 5 años, A era el doble de la edad de B":

  x−5=2(y−5)x - 5 = 2(y - 5)x−5=2(y−5)

• Edades futuras: "Dentro de 5 años, A será el doble de la edad de B":

  x+5=2(y+5)x + 5 = 2(y + 5)x+5=2(y+5)

• Problema de Mezcla Corregido:

  Imagina que se quiere mezclar 2 sustancias, A y B, para obtener una mezcla con una concentración específica. En este caso, tenemos:

  • x litros de la sustancia A que tiene una concentración del 30% de alguna propiedad (por ejemplo, alcohol, sal, etc.).

  • y litros de la sustancia B que tiene una concentración del 50% de la misma propiedad.

  • Queremos que la mezcla final sea de 100 litros con una concentración del 40%.

  Planteamiento:

  1. Ecuación de volumen: La suma de los volúMenes de las dos sustancias debe ser igual a 100 litros:

     x+y=100x + y = 100x+y=100
•  
  1. Ecuación de concentración: Simplificando: Si A tiene un 30% de concentración y B un 50%, y se quiere obtener una mezcla al 40%": Se pone el porcentaje en decimal 0,30 0.50 0,40... Y se le añade x o y 0.30y/x

1. Igualdades Notables

1. Cuadrado de una suma:

   (a+b)2=(a^2)+(2·a·b)+b2
2. Producto de una suma por una diferencia:

(a+b)(a−b)=a2−b2

Sucesiones Aritméticas y Geométricas  

1. Término general:

   an=a1+(n−1) ·d
2. Suma de los primeros n términos:
   Sn= (a1+an) · n / 2
   
   

   Sucesión Geométrica

   1. Término general:

      an=a1⋅r^ n−1
   2. Suma de los primeros n términos

      

Interpolación Aritmética y Geométrica

Interpolación Aritmética

d= b-a/k+1

Interpolación Geométrica ​

r= k+1 raíz de b/a

si quieres hallar 1 de los 2 o 3 términos entre el a y b haces esa operación, para hallarlos todos multiplicas el resultado por el numero de términos, esto tmb se da en la aritmética

4. Ecuaciones de Segundo Grado

Ecuación Completa

ax^ 2+bx+c=0

​​

Ecuación Incompleta

4x^2-36=0

x^2= 36/4
x^2=9
x= raíz de 9