Fundamentos de Álgebra Lineal: Definitud de Formas Cuadráticas y Diagonalización Matricial
Clasificado en Matemáticas
Escrito el en 
español con un tamaño de 2,54 KB
Definición 8. Sea Q una forma cuadrática no nula en R N . Diremos que Q es
• definida positiva si Q(x) > 0, ∀x ∈ R
N − {0};
• definida negativa si Q(x) < 0, ∀x ∈ R
N − {0};
• semidefinida positiva si Q(x) ≥ 0, ∀x ∈ R
N
Y ∃ x ∈ R
N − {0} tal que Q(x) = 0;
• semidefinida negativa si Q(x) ≤ 0, ∀x ∈ R
N
Y ∃ x ∈ R
N − {0} tal que Q(x) = 0;
• indefinida si Q toma valores positivos y negativos.
Como la matriz que representa a una forma cuadrática es una matriz simétrica real,
Podemos a su vez obtener las siguientes definiciones:
Definición 9. Diremos que la matriz simétrica A ∈ Mn×n(R) no nula es definida positiva,
Definida negativa, semidefinida positiva, semidefinida negativa o indefinida si lo es,
Respectivamente, la forma cuadrática Q asociada a la matriz A respecto de la base canónica
De R
N
.
Teorema 17. (Primer teorema de caracterización de matrices diagonalizables)
Sea A una matriz n × n con entradas en K.
A es diagonalizable en K si, y sólo si, existe una base de K
N
Formada por vectores propios de A.
Teorema 20. (Segundo teorema de caracterización de matrices diagonalizables)
Sea A una matriz n × n con entradas en K.
A es diagonalizable en K ⇐⇒ (
(i) dA(λ) es producto de factores lineales en K[λ]
(ii) MA(α) = MG(α), para cada valor propio α de A
Donde K[λ] denota el conjunto de polinomios con coeficientes en K en la indeterminada λ.
Definición 4. Si α es un valor propio de una matriz A, llamaremos multiplicidad algebraica de α a
La multiplicidad de α como cero del polinomio carácterístico de A y la denotaremos por MA(α).
Definición 3. Sea A una matriz n × n con entradas en K. Llamaremos polinomio carácterístico de
A, y lo denotaremos por dA(λ), al polinomio en λ que se obtiene al calcular el determinante de la
Matriz A − λIn×n:
DA(λ) = det(A − λIn×n)
Si A es una matriz n × n con entradas en K, entonces dA(λ) es un polinomio de grado n con
Coeficientes en K cuyo coeficiente director es (−1)n
.
Teorema 40. (Teorema de diagonalizabilidad de las matrices hermíticas)
Sea A ∈ Mn×n(C).
A es hermítica ⇐⇒
Existe P ∈ Mn×n(C) unitaria tal que A = PDP∗
,
Siendo D una matriz diagonal real.