Fundamentos de Álgebra Lineal: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

Escrito el 22 de Agosto de 2025 en español con un tamaño de 7,61 KB

Operaciones Fundamentales con Matrices

Traza de una Matriz

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Multiplicación de Matrices

Para multiplicar dos matrices, por ejemplo, una matriz de dimensiones n x m por otra de m x p, el resultado será una matriz de n x p.

Propiedades de la Suma de Matrices

Conmutativa: A + B = B + A
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Distributiva escalar: (cd)A = c(dA)
Distributiva escalar sobre suma de matrices: c(A + B) = cA + cB
Distributiva escalar sobre suma de escalares: (c + d)A = cA + dA

Matriz Nula

Una matriz nula es aquella cuyos elementos son todos ceros (0_mxn).

A + 0 = A
A + (-A) = 0_mxn
Si cA = 0_mxn, entonces c = 0 o A = 0_mxn

Matriz Transpuesta

La matriz transpuesta (A^T o A^t) se obtiene al intercambiar las filas por las columnas de la matriz original.

(A^t)^t = A
(A + B)^t = A^t + B^t
(cA)^t = c * A^t
(A * B)^t = B^t * A^t

Matriz Inversa

Una matriz inversa (A^-1) solo existe para matrices cuadradas.

Si el determinante de una matriz es cero (|A| = 0), la matriz no es invertible (o es singular).
Si el determinante es distinto de cero (|A| ≠ 0), la matriz es invertible (o no singular).

Propiedades de la Matriz Inversa

(A * B)^-1 = B^-1 * A^-1
(k * A)^-1 = (1/k) * A^-1 (donde k es un escalar no nulo)
(A^-1)^-1 = A
(A^-1)^T = (A^t)^-1

Método de Gauss-Jordan para la Inversa

Consiste en transformar la matriz aumentada (A|I) en (I|A^-1) mediante transformaciones elementales de fila:

Intercambiar dos filas.
Multiplicar una fila por un escalar no nulo.
Sumar un múltiplo de una fila a otra.

Método de los Adjuntos para la Inversa

La matriz inversa se calcula como: A^-1 = (1/|A|) * (Adj(A))^T, donde Adj(A) es la matriz de adjuntos (o cofactores) de A.

Determinantes

Menores

El menor de un elemento a_ij es el determinante de la submatriz obtenida al eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.

Adjuntos (Cofactores)

El adjunto (o cofactor) de un elemento a_ij es (-1)^i+j multiplicado por su menor.

Métodos de Cálculo de Determinantes

Regla de Sarrus: Aplicable para matrices de orden 2x2 y 3x3.
Desarrollo por cofactores (adjuntos): Elegir una fila o columna y sumar el producto de cada elemento por su adjunto.

Propiedades de los Determinantes

|A * B| = |A| * |B|
El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.
El determinante de una matriz con una fila o columna nula es cero.
El determinante de una matriz con una fila o columna linealmente dependiente de otra es cero.
El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de su diagonal principal.
Si se multiplican los elementos de una fila o columna por un número, el determinante se multiplica por ese número.
Si se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
Al realizar operaciones elementales de fila o columna (sumar un múltiplo de una a otra), el determinante no varía.
Al transponer una matriz, su determinante no varía: |A^T| = |A|.
|A| * |A^-1| = 1
|k * A| = kⁿ * |A|, donde n es el orden de la matriz A.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Los métodos comunes para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales incluyen:

Eliminación de Gauss
Teorema de Rouché-Frobenius
Regla de Cramer (para sistemas cuadrados con determinante no nulo)
Método de la Matriz Inversa (para sistemas cuadrados con determinante no nulo)

Método de Cramer

Aplicable a sistemas cuadrados donde la matriz de coeficientes A tiene un determinante distinto de cero (|A| ≠ 0).

La solución para cada incógnita x_i se calcula como: x_i = |A_i| / |A|, donde A_i es la matriz A con la columna i reemplazada por la columna de términos independientes.

Método de la Matriz Inversa

Requiere que la matriz de coeficientes A sea cuadrada e invertible (|A| ≠ 0).

Si el sistema se expresa como A * X = B, donde X es el vector de incógnitas y B el vector de términos independientes, la solución es X = A^-1 * B.

Método de Eliminación de Gauss

Consiste en transformar la matriz aumentada del sistema en una matriz escalonada (dejando ceros debajo de la diagonal principal) para resolver el sistema por sustitución regresiva.

Teorema de Rouché-Frobenius

Aplicable a sistemas de ecuaciones lineales de cualquier dimensión (no necesariamente cuadrados).

Considerando un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:

Sea A la matriz de coeficientes, con rango(A) = r.
Sea A* la matriz ampliada (matriz de coeficientes más la columna de términos independientes), con rango(A*) = r*.

Clasificación de Sistemas

Sistema Incompatible (sin solución): Si rango(A) ≠ rango(A*).
Ejemplo de fila escalonada: (0 0 ... 0 | n), con n ≠ 0.
Sistema Compatible (con solución): Si rango(A) = rango(A*).
- Compatible Determinado (solución única): Si rango(A) = rango(A*) = n (número de incógnitas).
  Ejemplo de fila escalonada: (0 0 ... n | m), con n ≠ 0.
- Compatible Indeterminado (infinitas soluciones): Si rango(A) = rango(A*) < n (número de incógnitas).
  Ejemplo de fila escalonada: (0 0 ... 0 | 0).

Rango de una Matriz

El rango de una matriz es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes.

Métodos para Calcular el Rango

Mediante Eliminación Gaussiana: Escalonar la matriz. El rango es el número de filas no nulas resultantes.
Mediante Determinantes (Menores): Buscar el menor de mayor orden cuyo determinante sea distinto de cero. El orden de este menor es el rango de la matriz.
- Si el determinante de la matriz completa (si es cuadrada) es distinto de cero, el rango es igual a su orden.
- Si el determinante es cero, se buscan menores de un orden inferior hasta encontrar uno cuyo determinante sea no nulo.

Matrices Simétricas y Antisimétricas

Una matriz A es simétrica si A = A^T.
Una matriz A es antisimétrica si A = -A^T.

Cualquier matriz cuadrada puede descomponerse como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica:

A = (1/2)(A + A^T) + (1/2)(A - A^T)

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