Fundamentos de Álgebra Lineal: Teoremas Esenciales y Definiciones Clave de Matrices y Espacios Vectoriales

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Definiciones Clave

Matrices y Formas Escalonadas

Teorema 32: Existencia de la Forma Escalonada Reducida de una Matriz

Dada una matriz A ∈ M_m×n(K), existen operaciones elementales sobre filas que transforman A en una única matriz en forma escalonada reducida por filas R. La matriz R recibe el nombre de forma escalonada reducida de A.

Definición 35: Rango de una Matriz

Dada una matriz A ∈ M_m×n(K), llamaremos rango de A al número de unos principales de la forma escalonada reducida de la matriz A y lo denotaremos por ρ(A).

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Teorema 41: Teorema de Existencia y Unicidad de Soluciones de Rouché-Frobenius

Si se considera el sistema Ax = b y (A|b) es su matriz ampliada, entonces:

• ρ(A|b) > ρ(A) ⇐⇒ el sistema es incompatible.
• ρ(A|b) = ρ(A) ⇐⇒ el sistema es compatible.
  • Si además, ρ(A) = n (número de incógnitas) ⇒ el sistema tiene solución única.
  • Si ρ(A) < n (número de incógnitas) ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones, que se pueden escribir en función de n − ρ(A) parámetros.

Matrices Cuadradas y Propiedades

Definición 45: Matriz No Singular (Invertible)

Sea A = (a_ij) ∈ M_n×n(K). Diremos que A es una matriz no singular (o invertible) si existe una matriz B ∈ M_n×n(K) tal que AB = I_n×n = BA.

Teorema 76: Teorema de los Pivotes No Nulos

Sean A = (a_ij) ∈ M_n×n(K) y t ∈ ℕ, tal que 1 ≤ t ≤ n. Entonces, los pivotes a₁₁, a₂₂⁽²⁾, ..., a_t,t^(t) son no nulos ⇐⇒ las submatrices A_[k] son no singulares, para k = 1, 2, ..., t.

Teorema 79: Unicidad de la Factorización LDU

Si A ∈ M_n×n(K) es no singular y admite una factorización LDU, entonces la factorización LDU es única. Si además A es simétrica, entonces U = L^T (L transpuesta).

Espacios Vectoriales y Bases

Teorema 35: Teorema de la Cardinalidad de la Base

Sea E un espacio vectorial sobre K no nulo finitamente generado. Si A = {x₁, ..., x_n} y B = {y₁, ..., y_m} son dos bases de E, entonces n = m.

Definición 19: Dependencia Lineal

Sea E un espacio vectorial sobre K y sea A un subconjunto no vacío de vectores de E. Diremos que A es linealmente dependiente (LD) si existen vectores x₁, x₂, ..., x_k ∈ A (distintos) y existen escalares α₁, α₂, ..., α_k ∈ K no todos nulos tales que α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_kx_k = 0.

Definición 45: Matriz No Singular (Invertible) - Repetida

Sea A = (a_ij) ∈ M_n×n(K). Diremos que A es una matriz no singular (o invertible) si existe una matriz B ∈ M_n×n(K) tal que AB = I_n×n = BA.

Teorema 32: Teorema de Prolongación a una Base

Sea E un espacio vectorial sobre K no nulo finitamente generado. Si A es LI (linealmente independiente), entonces existe una base B de E tal que A ⊆ B.