Fundamentos de Álgebra Lineal y Teoría de Grafos: Demostraciones Clave de Diagonalización y Circuitos Eulerianos

Teorema: T es diagnalzable↔Ct(x) cumple: 1)Todas las raıces de Ct(x) pertenecen a k. 2)Para cada raíz de Ct(x), se cumple: dimEλ = mλ. Demostración: Suponemos q T es diagnalzable y probamos q CT(x) cumple 1) y 2) T es diagonalizable↔ existe una base {e1,..,en} de E tal que la matriz de T es diagonal. Reordenando la base suponemos: (dibujo matriz A= landas en la diagnal princip y lo otro 0) ; (CA(x)= x-λ diag princip  = (x-λ1)^m1 * (x-λ2)^m2 * ...  Raíces:λ1,..,λn luego se cumple 1).   Vemos q cumple 2) mi=dimEλi . Lo probamos para λ1, para las demás es igual. DimEλ1 = dimKer(T−λ1) =dimE−dimIm(T−λ1Id)   T-λ1Id tiene matriz:(0 en todo menos diagonal principal λr-λ1, arriba a la izq tb es 0)  por tanto m1=Eλ1. Suponemos q CT(x) cumple 1) y 2), probamos q T es diagonalizable. Encontramos una base de E formada por vectores propios. Al juntar estas bases obtenemos una base de E, luego T es diagonalizable. Para ver que son base, basta probar que son generadores. Probamos Eλ1+..+Eλr=E.  T:Eλ1×...×Eλr→E    (v1,..,vr)→ v1+..+vr. T es lineal y su imagen es Eλ1+..+Eλr, queremos probar q T es epi, pero como son de la misma dimensión basta con probar q es inyect, es decir, su núcleo es 0.

 Demostración: supnemos q existe un circuito euleriano y probmos q G sea conexo y tdo vértice tenga grado par. C= circuito euleriano de G, recorre tdas las aristas de G sin reptir ningna. G es conexo: v, v′ son dos vértices de G, tmbn recorre tdos los vértices. Veamos q tdo vértice tne grado par. Sea v vértice de G. El nº de aristas cn vértice v=2m, siendo m= nº de veces q aparece v en C. Supngamos ahora q G es conexo y tdo vertce tiene grado par. Veamos q existe un circuito euleriano. Considramos tdos los caminos q no repitan ningna arista, y sea C uno de ellos de longitud máxima (N). C es un camino v1a1v2a2 ... VNaNvN+1. A)Toda arista de G q sea incidente cn vn+1 pertnece a C. En efecto, sea a una arista de G incidente cn vn+1. Si a no aparece en C, entnces el camino v1a1..Vnanvn+1 ax tené longitud N+1 y no repite aristas. B)C es circuito (v1=vn+1). Por(a), si v≠vn+1, el nº de aristas cn vertce vn+1 es 2n-1, siendo m=nº de veces q aparece vn+1 en C. Esto contradice q el grado de vn+1 es par.  Sea C' el mismo ciclo C, pero empzando y acabndo en v2, C=v2a2... Vnanv1a1v2. (∗) tda arista de G cn vertce en C prtncen a C. Para ver q C es euleriano, basta probar q tdo vertce de G pertnce a C.  Como G es conexo, hay un camino q une v1 con v: T=v1b1v′2b2...V′rbrv.