Fundamentos de Álgebra Lineal: Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones

Uní sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X Y Z, cada punto viene determinado de un punto P en el espacio. Los ejes de coordenadas determinan tres planos ordenados (xy,xz,yz), estos planos ordenados dividen al espacio en 8 regiones llamadas optantes, en el primer optante las 3 coordenadas son +.

- Vector en el espacio. Es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

- Componentes de un vector en el espacio: si las coordenadas de a y b son: A (x1,y1,z1) y B ( x2,y2,z2)

Para calcular las coordenadas o componentes del vector ab se restan las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Modulo de un vector. Es la longitud del segmento orientado que lo define, el modulo de un vector es un numero xy, solamente el vector nulo tiene modulo 0.

Representación graficas de puntos en el espacio.

- Por la primera coordenada del punto x se traza una parelela al eje y por la segunda coorneada y del punto P se traza una paralela al eje X.

- Por el punto de intersección entre esas 2 paralelas se traza una paralela al eje Z donde se debe colocar  en dicha paralela el valor de 2 que corresponde.

Matrices: es un conjunto de números reales colocados en filas y columnas en disposición rectangular, encerrados entre paréntesis y corchetes.

Igualdad de matrices. Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y sus posiciones son idénticas con respecto a sus elementos. A=B.

Matriz rectangular es aquella matriz donde el numero de filas es diferente al numero de columnas ( matriz de orden mxn con mFn).

Casos particulares de matrices rectangulares.

a) Matriz fila ( Vector fila ), es aquella matriz donde el numero de filas es igual a 1 ( matriz de orden mxn, 1xn)

Matriz columna es aquella matriz donde el numero de columnas es igual a 1 ( matriz de orden mxn, n=1, mx1)

Matriz cuadrada es aquella matriz que tiene igual numero de filas y columnas ( matriz de orden mxn con m=n)

Casos particulares de matrices cuadradas.

Matriz diagonal una matriz cuadrada es diagonal si se cumple que:

Matriz escalar. Una matriz diagonal es escalar cuando sus elementos no nulos son iguales.

Matriz Unidad o Identidad. Una matriz escalar es identidad cuando los elementos no nulos tomar el valor de 1.

Matria Triangular superior: Es cuando todos los elementos por debajo de la diagonal principal son 0

Matriz triangular inferior. Es cuando todos los elementos por encima de la diagonal principal son 0.

( Atentiendo a sus elementos)

Matriz nula. Es aquella matriz donde todos sus elementos son 0.

Matriz transpuesta. Dada una matriz A se denomina matriz transpuesta de A ( se denota por A+) a la matriz que se obtiene al cambiar en la matriz A, las filas por columnas.

Para sumar matrices las matrices deben tener el mismo orden.

Productos de matrices. Por multiplicar el numero de columnas de la matriz A debe ser igual al numero de filas de la matriz B.

Casos que se presentan al resolver sistemas de ecuaciones lineales;

Cuando el numero de ecuación es igual al numero de incógnitas se denomina compatible determinada, es decir una única solución.

Cuando el numero de incógnitas es mayor al numero de ecuaciones, el sistema se denomina compatible indeterminado es decir tiene infinitas soluciones.

Cuando el numero de incógnitas es menor al numero de ecucacion el sistema se denomina incompatabile, es decir no tiene solución.

Método de Gauss consiste en hallar la matriz triangular superior o escalonada.

Método de Gauss-Jordán consiste en hallar la matriz identidad.