Fundamentos de Álgebra: Polinomios y Ecuaciones

Este documento presenta conceptos esenciales del álgebra, abarcando la teoría de polinomios y la resolución de ecuaciones.

Teoría de Polinomios

• Teorema del Resto: El resto, R, de dividir un polinomio P(x) entre un binomio (x-a), coincide con el valor numérico del polinomio en x=a, es decir, R = P(a).
• Teorema del Factor: Si P(a) = 0, entonces el polinomio P(x) es divisible por (x-a), lo que significa que (x-a) es un factor de P(x).
• Regla de Ruffini: Es un algoritmo utilizado para dividir un polinomio P(x) cualquiera entre un binomio de la forma (x - a).
• Raíz de un Polinomio: Se dice que x = a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es nulo, es decir, x = a es raíz de P(x) si P(a) = 0.

Conceptos sobre Funciones

• Dominio: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. Se llama dominio de la función.
• Recorrido: Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente. Se llama recorrido de la función.
• Correspondencia: Es cualquier relación que se quiera establecer entre los elementos de dos conjuntos. El conjunto de partida se llama conjunto inicial, y el de llegada, conjunto final.

Ecuaciones y Expresiones Algebraicas

Expresión Algebraica

Es una expresión matemática en la que intervienen letras, números y los signos de operaciones aritméticas.

Ecuación

Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las letras que intervienen en la ecuación se denominan incógnitas de la ecuación. La solución de una ecuación es cualquier número real que, sustituido en la incógnita, hace que se cumpla la igualdad. Una ecuación puede tener ninguna, una, varias o infinitas soluciones. Si una ecuación tiene grado n, como máximo puede tener n soluciones.

Reglas de Equivalencia de Ecuaciones

• Regla de la Suma: Si se suma un mismo número o expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente.
• Regla del Producto: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número o expresión algebraica distinta de 0, se obtiene otra ecuación equivalente a la anterior.

Tipos de Ecuaciones

• Ecuación Equivalente: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
• Ecuación de Primer Grado: Es cuando se puede reducir a una ecuación en la que las expresiones de los dos miembros son polinomios de primer grado.
• Ecuación de Segundo Grado: Es cuando se puede reducir a una ecuación equivalente de la forma canónica: ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Si b ≠ 0 y c ≠ 0, la ecuación es completa. Si b = 0 o c = 0, la ecuación es incompleta.
• Ecuación Bicuadrada: Son ecuaciones de cuarto grado reducibles a la forma: ax⁴ + bx² + c = 0.

Valor Numérico y Raíz Enésima

• Valor Numérico: Es el resultado obtenido al sustituir cada una de las variables por números y aplicar las operaciones indicadas en la expresión.
• Raíz Enésima: La raíz enésima de un número a es un número b tal que al elevarlo a n se obtiene a.