Fundamentos de Álgebra Vectorial: Operaciones, Módulo y Sistemas de Coordenadas

Vectores Perpendiculares y Producto Escalar (90°)

Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si su producto escalar es cero:

$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $$

Ejemplo de Vector Perpendicular

Sea $\vec{u} = (3, -4)$. Buscamos $\vec{v} = (v_1, v_2)$ tal que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

La ecuación a resolver es: $3v_1 - 4v_2 = 0$.

Una solución posible es $\vec{v} = (4, 3)$, ya que $3(4) + (-4)(3) = 12 - 12 = 0$.

(Nota: El documento original proponía la solución $\vec{v} = (-4, -3)$, que también es válida, ya que $3(-4) + (-4)(-3) = -12 + 12 = 0$. Se recomienda verificar siempre la condición $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.)

Criterio de Paralelismo entre Vectores

Dos vectores $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$ son paralelos si sus componentes son proporcionales, es decir, si existe una constante $k$ tal que $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$.

Esto se verifica si:

$$ \frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = k $$

Ejemplo de Vectores Paralelos

Sean los vectores $\vec{u} = (6, 2)$ y $\vec{v} = (3, 1)$.

Verificamos la proporcionalidad:

$$ \frac{6}{3} = \frac{2}{1} = 2 $$

Dado que la razón es $k=2$, los vectores son paralelos.

Operaciones Fundamentales con Vectores

Multiplicación (Producto)

Existen dos tipos principales de multiplicación:

1. Multiplicación por un Escalar ($k \cdot \vec{v}$): El resultado es otro vector (se mantiene en coordenadas).
2. Producto Escalar ($\vec{u} \cdot \vec{v}$): El resultado es un número (escalar).

Ejemplo de Multiplicación por un Escalar

Sea $\vec{v} = (4, 3)$ y $k=4$.

$$ k \cdot \vec{v} = 4 \cdot (4, 3) = (16, 12) $$

Suma y Resta de Vectores

La suma y resta de vectores se realiza componente a componente. El resultado es siempre un vector (se mantiene en coordenadas).

Sean $\vec{A} = (a, b)$ y $\vec{B} = (c, d)$.

• Resta: $\vec{A} - \vec{B} = (a - c, b - d)$
• Suma: $\vec{A} + \vec{B} = (a + c, b + d)$

Producto Escalar, Módulo y Ángulo

Definición del Producto Escalar

Dados $\vec{A} = (a, b)$ y $\vec{B} = (c, d)$, el producto escalar es:

$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = (a \cdot c) + (b \cdot d) $$

El resultado del producto escalar es siempre un número (escalar).

Cálculo del Módulo (Magnitud) de un Vector

El módulo de un vector se calcula utilizando el Teorema de Pitágoras y siempre resulta en un número.

Para un vector $\vec{v} = (x, y)$, su módulo es:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $$

Ángulo entre Dos Vectores

El ángulo $\alpha$ entre dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ se calcula a partir de la definición del producto escalar:

$$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $$

Para obtener el ángulo en grados, se aplica la función inversa del coseno (arcocoseno o shift cos).

Distancia entre Dos Puntos

La distancia entre dos puntos $A(a, b)$ y $B(c, d)$ es equivalente al módulo del vector $\vec{AB}$.

El vector $\vec{AB}$ se calcula como:

$$ \vec{AB} = B - A = (c - a, d - b) $$

El resultado de esta resta es un vector (coordenadas).

Vectores Equipolentes y División de Segmentos

División de un Segmento

Para encontrar un punto $C(x, y)$ que divide el segmento $AB$ en una razón dada, por ejemplo, $\vec{AC} = \frac{3}{2} \cdot \vec{AB}$, se utiliza la relación vectorial.

Si $A(a, b)$ y $B(c, d)$, entonces:

1. Calcular el vector director $\vec{AB} = (c-a, d-b)$.
2. Establecer la relación: $\vec{AC} = C - A = (x-a, y-b)$.
3. Igualar las componentes: $(x-a, y-b) = \frac{3}{2} \cdot (c-a, d-b)$.
4. Despejar $x$ e $y$ para obtener las coordenadas de $C$.

Vectores Equipolentes

Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Esto significa que sus componentes deben ser idénticas.

Si $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2)$ son equipolentes, entonces $u_1 = v_1$ y $u_2 = v_2$.

Ejemplo de Vector Equipolente

Sea el vector $\vec{A}$ con origen $O_A(3, 5)$ y extremo $E_A(-2, 1)$.

Componentes de $\vec{A}$: $E_A - O_A = (-2 - 3, 1 - 5) = (-5, -4)$.

Buscamos el vector $\vec{B}$ equipolente a $\vec{A}$, con origen $O_B(2, -4)$ y extremo $E_B(x, y)$.

Las componentes de $\vec{B}$ deben ser $(-5, -4)$.

$\vec{B} = E_B - O_B = (x - 2, y - (-4)) = (x - 2, y + 4)$.

Igualando componentes:

• $x - 2 = -5 \implies x = -3$
• $y + 4 = -4 \implies y = -8$

El extremo de $\vec{B}$ es $E_B(-3, -8)$.

Vectores Unitarios y Coordenadas Polares

Vectores Unitarios

Un vector unitario ($\vec{u}$) es aquel cuyo módulo es 1. Se obtiene dividiendo el vector original por su módulo:

$$ \vec{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $$

El resultado de esta operación es un vector (coordenadas).

Vector Unitario Paralelo con Módulo Específico

Si se requiere un vector unitario paralelo con un módulo $M$ específico (ejemplo: módulo 5), se multiplica el vector unitario por dicho módulo:

$$ \vec{v}_{M} = M \cdot \left( \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \right) $$

Coordenadas Polares y Cartesianas

La forma polar de un vector se expresa mediante su módulo ($\rho$) y su ángulo ($\theta$) respecto al eje positivo X: $\rho_{\theta}$.

Conversión de Cartesiana a Polar

Dado un vector $\vec{v}=(x, y)$:

• Módulo ($\rho$): Se calcula por Pitágoras: $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Ángulo ($\theta$): Se calcula usando la tangente: $\tan(\theta) = \frac{y}{x}$.

Ejemplo: $5_{45^{\circ}}$ (Módulo 5, ángulo 45 grados).

Conversión de Polar a Cartesiana

Dado un punto $Q(\rho_{\theta})$, sus coordenadas cartesianas $(a, b)$ son:

• $a = \rho \cdot \cos(\theta)$
• $b = \rho \cdot \sin(\theta)$

Ejemplo: Punto $Q(4_{60^{\circ}})$

$a = 4 \cdot \cos(60^{\circ})$

$b = 4 \cdot \sin(60^{\circ})$

Coordenadas cartesianas: $Q=(a, b)$.

Leyes Fundamentales de la Trigonometría

Razones Trigonométricas Básicas (Triángulo Rectángulo)

• Seno (Sin): Cateto Opuesto / Hipotenusa (cc/h)
• Coseno (Cos): Cateto Adyacente / Hipotenusa (co/h)
• Tangente (Tg): Cateto Opuesto / Cateto Adyacente (cc/co)

Teorema del Seno (Ley de Senos)

Para un triángulo con lados $a, b, c$ y ángulos opuestos $A, B, C$:

$$ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} $$

Teorema del Coseno (Ley de Cosenos)

Relaciona los lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos:

$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) $$