Fundamentos de Cálculo: Valor Absoluto, Sucesiones Convergentes y Series Positivas

Valor Absoluto: Definición y Propiedades Fundamentales

Para cada x ∈ ℜ se define su valor absoluto por la expresión:

|x| =
x si x ≥ 0
−x si x < 0

Propiedades del Valor Absoluto

Para cada x, y ∈ ℜ:

• 1. No Negatividad: |x| > 0 si x ≠ 0, y |0| = 0.
• 2. Multiplicatividad: |xy| = |x||y|. Además, |−x||y| = |x||−y| = |−(xy)|.
• 3. Relación con Desigualdades:
  • |x| ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a.
  • |x| < a equivale a −a < x < a.
• 4. Desigualdad Triangular: |x + y| ≤ |x| + |y|. Esta es la famosa desigualdad triangular. En general, para cualesquiera x₁, …, x_k ∈ ℜ, se cumple |x₁ + … + x_k| ≤ |x₁| + … + |x_k|.
• 5. Desigualdad Triangular Inversa: ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Convergencia de Sucesiones Reales

Definición de Convergencia

Sea {x_n}_{n∈&naturals;} una sucesión de números reales. Se dice que {x_n} converge a un límite l (denotado como lim_n→∞ x_n = l) si:

∀ ε > 0, ∃ n₀ ∈ &naturals; tal que si n ≥ n₀, entonces |x_n − l| < ε.

En este caso, se afirma que la sucesión {x_n}_{n∈&naturals;} es convergente y su límite es l.

Teorema del Criterio de Cauchy

Una sucesión {x_n}_{n∈&naturals;} en ℜ^p tiene límite finito si y solo si es una sucesión de Cauchy, es decir:

∀ ε > 0, ∃ n₀ ∈ &naturals; tal que si m, n ≥ n₀, entonces |x_n − x_m| < ε.

Importancia del Criterio de Cauchy

La relevancia de este criterio reside en que no es necesario conocer el límite de la sucesión de antemano para determinar si este existe o no.

Propiedades de las Sucesiones Convergentes

Sea {x_n}_{n∈&naturals;} una sucesión de números reales convergente:

• {x_n}_{n∈&naturals;} posee un único límite.
• {x_n}_{n∈&naturals;} es acotada; es decir, existe K ∈ ℜ tal que |x_n| < K para todo n ∈ &naturals;.
• Cualquier subsucesión de {x_n}_{n∈&naturals;} converge al mismo límite que la sucesión original.
• {x_n}_{n∈&naturals;} tiene límite l si y solo si la sucesión {x_n − l}_{n∈&naturals;} tiene límite 0.

Cuando una sucesión tiene límite 0, se le denomina infinitésimo.

Sucesiones Divergentes

Definición de Divergencia

Sea {x_n}_{n∈&naturals;} una sucesión de números reales. Se dice que:

• lim_n→∞ x_n = +∞ (sucesión divergente a +∞) si: ∀ K > 0, ∃ n₀ ∈ &naturals; tal que si n ≥ n₀, entonces x_n > K.
• lim_n→∞ x_n = −∞ (sucesión divergente a −∞) si: ∀ K > 0, ∃ n₀ ∈ &naturals; tal que si n ≥ n₀, entonces x_n < −K.

Orden de Sucesiones

Comparación de Órdenes

Sean {x_n}_{n∈&naturals;} y {y_n}_{n∈&naturals;} dos sucesiones de números reales no nulos.

Si {x_n}_{n∈&naturals;} y {y_n}_{n∈&naturals;} son dos sucesiones divergentes a +∞ (o dos infinitésimos), se dice que {x_n}_{n∈&naturals;} es de mayor orden que {y_n}_{n∈&naturals;} si la sucesión {x_n/y_n}_{n∈&naturals;} es también divergente (o un infinitésimo, respectivamente).

Reglas y Criterios para Sucesiones y Series

Regla de Stolz

Si {x_n}_{n∈&naturals;} y {y_n}_{n∈&naturals;} son dos sucesiones de números reales que cumplen:

1. {y_n}_{n∈&naturals;} es estrictamente monótona.
2. lim_n→∞ y_n = ±∞ o lim_n→∞ x_n = lim_n→∞ y_n = 0.

Entonces, si lim_n→∞ ((x_n − x_n−1) / (y_n − y_n−1)) = l (finito o infinito), se deduce que ∃ lim_n→∞ (x_n / y_n) y lim_n→∞ (x_n / y_n) = l.

Regla de la Raíz (Criterio de Cauchy para Sucesiones)

Si {x_n}_{n∈&naturals;} es una sucesión de números reales positivos, entonces:

Si lim_n→∞ (x_n / x_n−1) = l (finito o infinito), se deduce que ∃ lim_n→∞ √[n]{x_n} y lim_n→∞ √[n]{x_n} = l.

Series de Términos Positivos

Definición y Propiedades Fundamentales

Nos centraremos en las series para las que x_n ≥ 0 para cada n. Estas se denominan series de términos positivos (s.t.p.).

Si ∑ x_n es una s.t.p., entonces la sucesión de sus sumas parciales es monótona creciente. Por consiguiente, una s.t.p. solo puede ser convergente o divergente a +∞, dependiendo de si la sucesión de las sumas parciales es acotada o no.

Criterios de Clasificación de Series Positivas

Existen diferentes tipos de criterios para clasificar las series de términos positivos:

• 1. Criterios de Comparación: Requieren conocer el carácter de otra serie con la que comparar adecuadamente.
• 2. Criterios Automáticos (o de Límite): Solo requieren el cálculo de un determinado límite (derivado de alguna fórmula conocida).