Fundamentos de Cálculo: Asíntotas, Continuidad y Derivadas

Estudio de Funciones: Asíntotas, Continuidad y Derivadas

Asíntotas

• Asíntota Horizontal (A.H.): Cuando el grado del numerador es mayor al del denominador, no hay asíntota horizontal.
• Asíntota Vertical (A.V.): Se menciona que cuando hay A.H. no suele haber A.V. Si la función es continua, no tiene A.V.; en caso contrario, se deben calcular los límites laterales para determinar su posición y comportamiento.
• Asíntota Oblicua (A.O.): Se define por la recta y = mx + n, donde:
  • m = lim (x → +∞) f(x)/x
  • n = lim (x → +∞) (f(x) - mx)

Continuidad y Discontinuidad

La discontinuidad evitable ocurre cuando la función pasa por un "punto vacío", es decir, el límite existe pero no coincide con el valor de la función. Los casos comunes incluyen:

1. No existe el límite.
2. El límite existe y es infinito.
3. El límite existe pero no coincide con f(a).

Aplicación del Teorema de Bolzano

¿Contradice el Teorema de Bolzano? Sabemos que la función tangente no está definida en x = π/2. Dado que π/2 ∈ (π/4, 3π/4), la función f no es continua en todos los puntos del intervalo (π/4, 3π/4). Como no cumple una de las condiciones del teorema de Bolzano, no se puede asegurar que exista un c ∈ (π/4, 3π/4) tal que f(c) = 0; es decir, no podemos asegurar que la función tenga una raíz en dicho intervalo.

Teoremas Fundamentales

• Teorema de Weierstrass: Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces existen valores máximos y mínimos. (Nota: El texto original asocia el cambio de signo a este teorema, aunque técnicamente corresponde a Bolzano).
• Teorema de Darboux: Si una función es continua en un intervalo cerrado y u es un valor comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe un c ∈ [a, b] tal que f(c) = u.
• Teorema de Bolzano: Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y signo f(a) ≠ signo f(b), entonces existe un c ∈ [a, b] tal que f(c) = 0.

Cálculo de Parámetros y Valor Absoluto

Para resolver problemas de parámetros, se siguen estos pasos: 1) Estudiar la continuidad en un primer valor, 2) Estudiar la continuidad en un segundo valor, 3) Resolver el sistema de ecuaciones resultante. Se debe indicar que la función es continua en su dominio y utilizar tablas de valores para analizar las discontinuidades evaluando f(x) y los límites.

En funciones con valor absoluto (ejemplo: |x+1| - 3), se deben: 1) Estudiar las ramas por separado, 2) Identificar los puntos donde cambia el valor absoluto (ej. x ≤ -1 y x > -1).

Derivadas y Rectas Tangentes

Recta Tangente: La ecuación fundamental es y - y1 = m(x - x1). Por ejemplo, en la recta y = -2x + 5, la pendiente es m = -2. El valor de y1 se obtiene mediante f(x1).

• Recta Normal/Perpendicular: Se calcula la pendiente de la tangente, se invierte y se cambia el signo (ejemplo: de 1/8 a -8).
• Para hallar el punto x, se iguala la derivada a la pendiente m.
• Recta tangente desde un punto externo: Se utiliza la fórmula de la pendiente m = (y2 - y1) / (x2 - x1) e igualamos el resultado a la derivada.

Parámetros en Funciones Derivables

Si una función es derivable, obligatoriamente es continua. En un punto como x = 0, el límite por la izquierda debe ser igual al límite por la derecha. Posteriormente, se igualan las derivadas laterales en dicho punto. Esto permite generar un sistema de ecuaciones (ecuación de la derivada, ecuación de la función original y, si es necesario, la ecuación de la recta tangente con su respectiva pendiente).