Fundamentos y Cálculo de Determinantes: Propiedades y Métodos Esenciales

Determinantes

Definición de Determinante

El determinante de una matriz $A$ de orden $n$, que simbolizamos $|A|$, se define como el número calculado de la siguiente suma relativa a los $n^2$ elementos de $A$: $|A|= \sum (\pm) a_{1i} a_{2j} \dots a_{nr}$.

En la suma hay $n!$ términos, y en cada término aparece uno y solo un elemento de cada fila y de cada columna de $A$. La definición de determinante implica que las únicas matrices que tienen determinantes asociadas con ellas son las matrices cuadradas. (FORMULA).

Sabemos que la matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas; en cambio, el determinante es un único número escalar.

Propiedades Fundamentales de los Determinantes

1. Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante: $|A|=|A^T|$.
2. Si se intercambian entre sí dos líneas paralelas (filas o columnas), el determinante cambia de signo, pero no de valor absoluto.
3. Si una matriz tiene dos líneas paralelas (filas o columnas) iguales o proporcionales entre sí, su determinante es nulo.
4. Si se multiplican los elementos de una línea por un escalar distinto de cero, el determinante queda multiplicado por ese número.
5. Si a una línea de un determinante se le suma una combinación lineal de líneas paralelas, el determinante no varía.
6. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de los determinantes de cada una de ellas: $|A \cdot B|= |A| \cdot |B|$.
7. (Propiedad 7 omitida en el original)
8. Si una matriz está formada por bloques no nulos sobre su diagonal principal, siendo nulos los bloques restantes, el determinante de la misma será el producto de los determinantes de dichos bloques.

Cálculo del Determinante de Orden 2x2

Se calcula multiplicando entre sí los elementos que constituyen la diagonal principal y restándole el producto de los elementos que constituyen la diagonal secundaria. (FORMULA).

Método de Sarrus para Matrices 3x3

La Regla de Sarrus es un método rápido y práctico para el cálculo de los determinantes de matrices de tercer orden ($3 \times 3$) y consiste en:

• Multiplicar los elementos que constituyen la diagonal principal.
• Sumarle el producto de la primera paralela a la diagonal principal con el vértice opuesto.
• Sumarle el producto de los elementos que constituyen la otra paralela a la diagonal principal con el vértice opuesto.
• Restar el producto que forma la diagonal secundaria.
• Restar el producto de la primera paralela a la diagonal secundaria con el vértice opuesto.
• Restar el producto de la otra paralela a la diagonal secundaria con el vértice opuesto.

(FORMULA).

Menor Complementario de un Elemento

El menor complementario ($M_{ij}$) de un elemento de un determinante es el determinante que se obtiene al suprimir la fila y la columna en que se encuentra dicho elemento. (FORMULITA).

Por ejemplo, si suprimimos la primera fila y la primera columna, obtenemos un determinante de orden $n-1$. Del mismo modo, y aplicando la misma definición, tendremos (FORMULITA).

Desarrollo por Cofactores (o por los Elementos de una Línea)

Cuando $n$ es grande, no resulta fácil calcular un determinante basándose en la definición dada, es decir: $|A|= \sum (\pm) a_{1i} a_{2j} \dots a_{nr}$.

El determinante de una matriz de orden $n$ puede calcularse como la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ (o columna $j$) por sus respectivos adjuntos (o cofactores).

Este desarrollo también recibe el nombre de desarrollo por cofactores. El adjunto (o cofactor) $A_{ij}$ se define como:

$$A_{ij}=(-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$