Fundamentos de Cálculo Diferencial: Derivadas y Estudio de Funciones

Reglas Básicas de Derivación

1. Derivada de una constante: $\frac{d}{dx}(C) = 0$
2. Derivada de x: $\frac{d}{dx}(x) = 1$
3. Derivada de una constante por una función: $\frac{d}{dx}(CV) = (C) \frac{dv}{dx}$
4. Derivada de una suma o resta: $\frac{d}{dx}(U + V - W) = U' + V' - W'$
5. Derivada de una potencia: $\frac{d(x^n)}{dx} = nx^{n-1}$
6. Derivada de una función elevada a una potencia: $\frac{d}{dx}(V^n) = nV^{n-1} \frac{dv}{dx}$
7. Derivada de una raíz enésima: $\frac{d}{dx}(\sqrt[n]{v}) = \frac{1}{n\sqrt[n]{v^{n-1}}} \frac{dv}{dx}$
8. Derivada de una raíz cuadrada: $\frac{d}{dx}(\sqrt{v}) = \frac{1}{2\sqrt{v}} \frac{dv}{dx}$
9. Derivada de un producto: $\frac{d}{dx}(UV) = U \frac{dv}{dx} + V \frac{du}{dx}$
10. Derivada de un cociente: $\frac{d}{dx}(\frac{U}{V}) = \frac{V \frac{du}{dx} - U \frac{dv}{dx}}{V^2}$

Fórmula de la Cadena

Derivada de la composición de dos funciones

Para una función de la forma $U^n$, su derivada se expresa como: $U^n = (n)(U)^{n-1}(U)'$

Dominio y Rango de una Función

Dominio (Df): Se refiere a los valores permitidos para x. Por ejemplo:

• $Df = \{x < -5, x > -5\}$
• $Df = \{x / x \neq -5\}$
• $Df = (-\infty, -5) \cup (-5, +\infty)$

Ejemplo práctico: Sea $f(x) = \frac{x}{x^2 - 5x - 6}$. Al factorizar el denominador $(x - 6)(x + 1)$, obtenemos:

• $x_1 - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$
• $x_2 + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
• Dominio: $Df = \{x / x \neq 6 \text{ y } x \neq -1\}$

Reglas de Restricción

• Funciones cuadráticas y lineales: No presentan restricciones en su dominio.
• Divisiones: La restricción ocurre en los valores que hacen que el denominador sea igual a 0.
• Raíces cuadradas: El contenido dentro de la raíz no puede ser negativo.

Cálculo de Rango y Dominio: Para hallar el rango, se despeja x (ej. $x = y + 2$); para hallar el dominio, se despeja y (ej. $y = x - 2$).

Estudio de la Función Cuadrática

La función cuadrática se define como: $f(x) = ax^2 + bx + c$. Su representación gráfica es una parábola. Si $a > 0$, las ramas de la parábola se orientan hacia arriba.

Para obtener las coordenadas del vértice $(x, y)$, se aplican las fórmulas:

• $x = -\frac{b}{2a}$
• $y = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Asíntotas

Una asíntota es una recta o curva cuya distancia a la función $y = f(x)$ se aproxima a cero; es decir, la asíntota se acerca a la función pero nunca la toca.

Solución: Se iguala el denominador a cero y se despeja x para obtener las ecuaciones de las asíntotas verticales.

La Derivada

En una función, es el límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable, cuando el incremento tiende a cero.

Método de los Cuatro Pasos

1. Incremento: $y + \Delta y = f(x + \Delta x)$. Se identifica esto como "agregar el incremento en x y en y".
2. Resta: $y + \Delta y - y = f(x + \Delta x) - f(x)$. Se despeja el incremento de y y se le resta la función original.
3. Cociente: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$. Se divide para $\Delta x$.
4. Límite: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.

Puntos Máximos y Mínimos

Representación visual: -__U__ + (mínimo) y + --n--- - (máximo).

Procedimiento para el cálculo:

1. Se obtiene la derivada de la función.
2. Se iguala la derivada a 0 para encontrar el valor de la variable (valor crítico) y se despeja x.
3. Se asigna un valor menor y uno mayor al valor crítico y se evalúa en la derivada para determinar si es un máximo o mínimo.
4. Para encontrar el punto crítico exacto, se evalúa la función original en el valor crítico obtenido.

Criterios según el grado de la función:

• Cuando la función es de grado 2, solo tendrá un máximo o un mínimo.
• Cuando es de tercer grado, tendrá un máximo y un mínimo.

Criterio de la Segunda Derivada:

• Si $f''(x_0) > 0$: En $x_0$ hay un mínimo.
• Si $f''(x_0) < 0$: En $x_0$ hay un máximo.
• Si $f''(x_0) = 0$: Hay un punto de inflexión.

Nota: Para encontrar máximos y mínimos también se puede utilizar la fórmula de segundo grado.

Puntos de Inflexión

Para determinar los puntos de inflexión utilizando la derivada:

1. Se iguala la segunda derivada a cero: $f''(x) = 0$.
2. Se verifica que la tercera derivada sea distinta de cero: $f'''(x) \neq 0$. Si es así, existe un punto de inflexión (de lo contrario, se debe volver a derivar).
3. Se reemplaza en la función original el valor de x obtenido en el paso 1 para hallar la coordenada correspondiente.