Fundamentos del Cálculo Diferencial: Derivadas, Optimización y Puntos Críticos

✏️ Derivadas: Concepto y Cálculo

Idea Clave

La derivada mide cómo cambia una función (si sube o baja) en un punto específico. Representa la pendiente de la recta tangente.

Procedimiento Básico para Derivar

1. Aplica las reglas de derivación fundamentales (potencia, producto, cociente, cadena).
2. Ejemplos:
   • Si f(x) = xⁿ → f ′(x) = n·xⁿ⁻¹
   • Si f(x) = x³ + 2x → f ′(x) = 3x² + 2

Utilidad de la Derivada

Sirve para analizar la forma de la gráfica de una función: dónde crece, dónde decrece, identificar máximos, mínimos, etc.

🎯 Puntos Críticos: Identificación de Extremos

Definición

Son los puntos del dominio de la función donde la primera derivada (f ′(x)) se anula (es igual a cero) o no existe.

Pasos para Encontrarlos

1. Deriva la función: f ′(x).
2. Iguala la derivada a cero: f ′(x) = 0.
3. Resuelve la ecuación para obtener los valores de x (estos son los candidatos a extremos relativos).

Ejemplo

Si f ′(x) = 2x – 4, al igualar a 0 obtenemos:

2x – 4 = 0

Por lo tanto, x = 2 es un punto crítico.

📈 Monotonía: Crecimiento y Decrecimiento

La monotonía describe dónde la función sube (crece) o baja (decrece).

Pasos para Analizar la Monotonía

1. Calcula la primera derivada f ′(x).
2. Encuentra los puntos críticos (donde f ′(x) = 0 o no existe).
3. Divide la recta real en intervalos utilizando los puntos críticos y evalúa el signo de f ′(x) en cada intervalo:
   • Si f ′(x) > 0 en el intervalo, la función crece.
   • Si f ′(x) < 0 en el intervalo, la función decrece.

Criterio de la Primera Derivada (Conclusión)

• Cuando f ′(x) cambia de signo positivo (+) a negativo (−), existe un máximo relativo.
• Cuando f ′(x) cambia de signo negativo (−) a positivo (+), existe un mínimo relativo.

🌀 Concavidad: La Curvatura de la Función

Herramienta Clave

Se utiliza la Segunda Derivada: f ′′(x).

Pasos para Determinar la Concavidad

1. Calcula la función original f(x), la primera derivada f ′(x) y la segunda derivada f ′′(x).
2. Evalúa el signo de f ′′(x) en los intervalos definidos por los puntos donde f ′′(x) = 0:
   • Si f ′′(x) > 0, la función es cóncava hacia arriba (forma de U).
   • Si f ′′(x) < 0, la función es cóncava hacia abajo (forma de U invertida).

🔁 Puntos de Inflexión

Definición

Son los puntos de la función donde la concavidad cambia (pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o viceversa).

Pasos para Encontrar Puntos de Inflexión

1. Calcula la segunda derivada f ′′(x).
2. Iguala la segunda derivada a cero: f ′′(x) = 0.
3. Verifica el cambio de signo de f ′′(x) a ambos lados de las soluciones obtenidas (usando la prueba de intervalo).
4. Si hay un cambio de signo, se confirma la existencia de un punto de inflexión.

🧠 Optimización: Aplicación a Problemas Reales

Meta

Encontrar el valor máximo o mínimo de una función que modela una situación o problema de la vida real.

Pasos Típicos para Resolver Problemas de Optimización

1. Plantea la función objetivo que deseas maximizar o minimizar (ej. área, volumen, costo).
2. Utiliza las condiciones o restricciones del problema para expresar la función objetivo en términos de una sola variable.
3. Deriva la función objetivo y resuelve f ′(x) = 0 para encontrar los puntos críticos (candidatos a soluciones óptimas).
4. Verifica si el punto crítico es un máximo o un mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada (f ′′(x)) o evaluando los extremos del intervalo, si existen.
5. Proporciona una respuesta clara y contextualizada al problema planteado.

Ejemplos de Aplicación

Maximizar área, minimizar costo, optimizar tiempo, maximizar volumen, etc.