Fundamentos del Cálculo Diferencial: Teoremas y Definiciones Esenciales

Teorema del Valor Medio de Lagrange

Enunciado Formal

Dada una función f que cumple las siguientes condiciones:

• Es continua en el intervalo cerrado [a,b].
• Es derivable en el intervalo abierto (a,b).

Entonces, existirá al menos un punto c ∈ (a,b) tal que la derivada de la función en ese punto es igual a la pendiente de la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)):

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Interpretación Geométrica

El Teorema del Valor Medio de Lagrange nos asegura que, para una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), siempre podemos encontrar al menos un punto c en el intervalo (a,b) en el que la recta tangente a la función en x=c es paralela a la recta secante que une los puntos de la función en x=a y x=b.

Punto de Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde la función cambia de curvatura (de cóncava a convexa o viceversa).

Criterio de la Segunda y Tercera Derivada

Dada una función f derivable tres veces en un punto x=a, donde a ∈ D(f) (dominio de la función), diremos que x=a es un punto de inflexión si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

• La segunda derivada en a es cero: f''(a) = 0.
• La tercera derivada en a es diferente de cero: f'''(a) ≠ 0.

Teorema de Bolzano

Enunciado Formal

Dada una función f que cumple las siguientes condiciones:

• Es continua en el intervalo cerrado [a,b].
• Los valores de la función en los extremos del intervalo tienen signos opuestos: f(a) ⋅ f(b) < 0.

Entonces, existe al menos un punto c ∈ (a,b) tal que la función se anula en ese punto: f(c) = 0.

Interpretación Geométrica

El Teorema de Bolzano nos permite asegurar que, si una función es continua en un intervalo cerrado y sus valores en los extremos tienen signos opuestos, entonces la función corta el eje de abscisas (eje OX) en al menos un punto dentro del intervalo abierto (a,b). Es decir, existe al menos una raíz en ese intervalo.

Teorema de Rolle

Enunciado Formal

Dada una función f que cumple las siguientes condiciones:

• Es continua en el intervalo cerrado [a,b].
• Es derivable en el intervalo abierto (a,b).
• Los valores de la función en los extremos del intervalo son iguales: f(a) = f(b).

Entonces, existe al menos un punto c ∈ (a,b) tal que la derivada de la función en ese punto es cero: f'(c) = 0.

Interpretación Geométrica

El Teorema de Rolle nos asegura que, si una función es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a) = f(b), existirá al menos un punto c del intervalo (a,b) en el que la recta tangente a la función en x=c es paralela al eje de abscisas (eje OX), es decir, una tangente horizontal.

Derivada de una Función en un Punto

Definición Formal

Dada una función f y un punto x=x₀, donde x₀ ∈ D(f) (dominio de la función), denominamos derivada de la función en x=x₀ y la representamos por f'(x₀) al siguiente límite, si este existe y es finito:

f'(x₀) = lim (x→x₀) [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)

Interpretación Geométrica

La derivada de una función en un punto se interpreta geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Función Continua en un Punto

Definición Formal

Dada una función f y un punto x=x₀, donde x₀ ∈ D(f), diremos que la función es continua en x=x₀ si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones (que se resumen en la igualdad):

1. La función está definida en x₀, es decir, f(x₀) existe.
2. El límite de la función cuando x tiende a x₀ existe: lim (x→x₀) f(x) existe y es finito.
3. El valor de la función en el punto es igual al límite: f(x₀) = lim (x→x₀) f(x).

Continuidad Lateral de una Función en un Punto

Dada una función f y un punto x=x₀, donde x₀ ∈ D(f), podemos definir la continuidad lateral:

Continuidad por la Izquierda

Diremos que f(x) es continua por la izquierda en x=x₀ si y solo si el límite de la función cuando x tiende a x₀ por la izquierda es igual al valor de la función en x₀:

lim (x→x₀⁻) f(x) = f(x₀)

Continuidad por la Derecha

Diremos que f(x) es continua por la derecha en x=x₀ si y solo si el límite de la función cuando x tiende a x₀ por la derecha es igual al valor de la función en x₀:

lim (x→x₀⁺) f(x) = f(x₀)

Teorema de Weierstrass (Teorema de los Valores Extremos)

Enunciado Formal

Dada una función f que cumple la siguiente condición:

• Es continua en el intervalo cerrado [a,b].

Entonces, la función alcanzará un máximo absoluto y un mínimo absoluto en ese intervalo [a,b]. Es decir, existen puntos c₁, c₂ ∈ [a,b] tales que para todo x ∈ [a,b], se cumple:

f(c₁) ≤ f(x) ≤ f(c₂)

Aclaración Importante

Es importante destacar que el teorema asegura la existencia de estos extremos, pero no especifica si se encuentran en los extremos del intervalo o en puntos interiores. Solo garantiza que existen dentro del intervalo cerrado.