Fundamentos del Cálculo: Límites, Convergencia y Tipos de Asíntotas

el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesióno una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(a_n)

= a o se representa mediante la flecha (→) como en a_n → a.

Formalmente, se dice que la sucesión  tiende hasta su límite , o que converge o es convergente (a )

2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva.

A) LIMITES EN EL INFINITO.

A1) Límite finito.

A2) Límite infinito.

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos  en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente

B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.

B1) Asíntotas verticales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si  o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

B2) Asíntotas horizontales. 
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando  La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

B3) Asíntotas oblicuas. 
Dada la función y = f(x), si se verifica que

a)     b)     c)

entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . La asíntota puede aparecer cuando  Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función