Fundamentos del Cálculo Matricial y Diseño de Estructuras de Hormigón

Introducción al Cálculo Matricial y el Método Directo de la Rigidez

El cálculo matricial o método directo de la rigidez es un método general que posibilita el cálculo de cualquier tipo de estructura.

Discretización de la Estructura: Elementos y Nodos

La estructura se considera como un conjunto de elementos que se unen en los llamados nodos y que cumplen las condiciones generales de equilibrio y compatibilidad de deformaciones. El nodo no tiene por qué ser necesariamente un nudo; puede ser un punto intermedio de una barra. Con el cálculo matricial, se estudian en primer lugar los movimientos y, a continuación, los esfuerzos en los nodos.

Grados de Libertad (GDL)

Los grados de libertad (GDL) son las magnitudes que, en cierto sistema de referencia, hay que determinar en un punto para que su posición quede definida respecto a una posición anterior en un movimiento cualquiera. Una estructura tiene infinitos GDL, pero solo consideramos los GDL de los nodos (GDL explícitos).

Conceptos Fundamentales en Mecánica Estructural

Concepto de Rigidez y Flexibilidad

La relación entre fuerza y desplazamiento se expresa mediante los conceptos de rigidez y flexibilidad:

• Rigidez (k): Es la constante de rigidez del muelle y representa la fuerza que hay que aplicar para conseguir un movimiento unitario.
• Flexibilidad (f): Es el coeficiente de flexibilidad y representa el movimiento que aparece en el muelle al aplicarse una fuerza unitaria.

Las relaciones fundamentales son:

k =

F = k · d

d =

F = f · F

f =

f =

d = x F

Escribimos matricialmente:

{F} = [K] {d}

{d} = [f] {F}

{d} = [ ] {F}

Siendo [f] la matriz de flexibilidad.

Sistemas de Coordenadas

Para la definición y cálculo de estructuras, se utilizan diferentes sistemas de coordenadas:

• Sistema de Referencia: Es el sistema cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura.
• Sistema Global o General: Normalmente paralelo al de referencia, permite obtener de forma única para toda la estructura los movimientos y fuerzas en los nodos.
• Sistema Local de Coordenadas: No suele coincidir con el sistema global.

Rotación de Ejes Coordenados

La rotación de ejes coordenados es el paso de ejes globales a locales, expresado como:

{F} = [Q] {F'}

{d} = [Q] {d'}

Rotación en el plano x'y':

]

]

Matrices de Rigidez de Elementos

Matriz de Rigidez de Elemento en Ejes Generales o Globales

[K'] = [K] [Q]

=

Matriz de Rigidez de Barra en Ejes Locales

Esta matriz relaciona las fuerzas de extremo con los movimientos del mismo:

T =

E = E

N =

ΔL = (u_b - u_a)

F_a = -N = - (u_b - u_a)

F_b = N = (u_b - u_a)

{ } = { }

Ejercicios: Matriz de Rigidez de Cada Barra en Ejes Globales

[K'] =

Limitaciones de los Estribos en Hormigón Armado

Las limitaciones para los estribos son las siguientes:

• S_t ≤ 0.75d ≤ 600mm si V_d ≤ 1/5V_u1
• S_t ≤ 0.60d ≤ 450mm si 1/5V_u1 < V_d ≤ 2/3V_u1

Si existe armadura longitudinal efectivamente comprimida, además los estribos han de cumplir la siguiente condición:

• Para A₂ ≠ 0: S_t ≤ 15Φ_min y Φ_t ≥ Φ_max/4.
• u₉₀/s₉₀ ≥ f_ctm1/7.5

b = 0.04 ≤ x.

f_ctm1 = 0.30 si H 50

Matrices de Rigidez de Elementos (Repetición)

Nota: Esta sección parece ser una repetición de contenido anterior. Se mantiene según las instrucciones.

Matriz de Rigidez de Elemento en Ejes Generales o Globales

[K'] = [K] [Q]

=

Matriz de Rigidez de Barra en Ejes Locales

Esta matriz relaciona las fuerzas de extremo con los movimientos del mismo:

T =

E = E

N =

ΔL = (u_b - u_a)

F_a = -N = - (u_b - u_a)

F_b = N = (u_b - u_a)

{ } = { }

Ejercicios: Matriz de Rigidez de Cada Barra en Ejes Globales

[K'] =

Limitaciones de los Estribos en Hormigón Armado (Repetición)

Nota: Esta sección parece ser una repetición de contenido anterior. Se mantiene según las instrucciones.

Las limitaciones para los estribos son las siguientes:

• S_t ≤ 0.75d ≤ 600mm si V_d ≤ 1/5V_u1
• S_t ≤ 0.60d ≤ 450mm si 1/5V_u1 < V_d ≤ 2/3V_u1

Si existe armadura longitudinal efectivamente comprimida, además los estribos han de cumplir la siguiente condición:

• Para A₂ ≠ 0: S_t ≤ 15Φ_min y Φ_t ≥ Φ_max/4.
• u₉₀/s₉₀ ≥ f_ctm1/7.5

b = 0.04 ≤ x.

f_ctm1 = 0.30 si H 50

Dominios de Deformación en Hormigón Armado

Los dominios de deformación definen el comportamiento de la sección de hormigón armado bajo diferentes estados de carga:

• DOMINIO 1: Ln x = -∞ a x = 0. Tracción simple o compuesta. Toda la sección está traccionada. Las rectas de deformación giran alrededor del punto A. El agotamiento se produce por exceso de deformación plástica de la armadura de tracción, ya que ε_si = 10‰.
• DOMINIO 2: 0 ≤ x ≤ 0.259d. ε_c = 3.5‰.
  Ecuaciones de Compatibilidad.
• DOMINIO 3: 0.259d ≤ x ≤ x_lim. ε_cu = 3.5‰. La deformación de la estructura tiene valores comprendidos entre 10‰ y ε_yd.
• DOMINIO 4: x_lim ≤ x ≤ d.
• DOMINIO 4A: d ≤ x ≤ h.
• DOMINIO 5: h ≤ x ≤ +∞.

Γ = εE = 2‰ * 2 * 10⁵ = 400 MPa. En compresión simple, f_yd está limitado a 400 MPa.

Cuantías de Armadura en Hormigón Armado

Cuantía Geométrica Mínima

La cuantía geométrica mínima se establece para prever los esfuerzos térmicos y de retracción que normalmente no se tienen en cuenta en los cálculos.

• ρ = A_s/A_c
• Para acero B-400S: ρ = 3.3‰
• Para acero B-500S: ρ = 2.8‰
• A_s = ρ * b * h

Cuantía Mecánica Mínima

La cuantía mecánica mínima es para evitar las roturas frágiles.

• A_s ≥ 0.04A_c * f_cd/f_yd

Cálculo de Cortante y Armadura Transversal

Matriz de Rigidez de Elemento en Ejes Globales

Fórmulas y consideraciones para el cálculo de cortante:

• V_d ≤ V_u1 = 0.3 * f_cd * b * d
• V_cu = (0.15/γ_c) * ∑(100ρ₁ * f_ck)^2/3 * b * d
• Σ = 1 + √(200/d_mm)
• ρ₁ = A_s/(b*d)
• V_su = (0.9 * d * A₉₀ * f_y * 0.90)/s₉₀
• A₉₀:
  • 2πd²/4 (Estribo 2 Ramas)
  • 3πd²/4 (Estribo 3 Ramas)
  • 4πd²/4 (Estribo 4 Ramas)
  • 4πd²/4 (Estribo doble)
• Si f_y es 500 MPa, se utiliza 400 MPa; si es 400 MPa, se utiliza el f_yd de ese acero.
• S₉₀ = (0.9d * U₉₀) / V_su