Fundamentos de Cálculo Multivariable: Derivadas, Extremos e Integrales

Límites y Diferenciabilidad

Definición de límite: |f(x₀+r cos θ, y₀+r sen θ) - L| ≤ g(r)

Definición de derivada parcial: ∂f/∂x = lim_h→0 [f(a+h, b) - f(a, b)] / h

Definición de diferenciabilidad: lim_{(h,k)→(0,0)} [f(a+h, b+k) - f(a, b) - (∂f/∂x)h - (∂f/∂y)k] / ||(h,k)|| = 0

Regla de la Cadena y Diferenciales

• Regla de la cadena: (f ∘ g)'(a) = f'(b) · g'(a), donde b = f(a)
• Derivadas parciales compuestas:
  • ∂f/∂x = (∂f/∂u)(∂u/∂x) + (∂f/∂v)(∂v/∂x)
  • ∂f/∂y = (∂f/∂u)(∂u/∂y) + (∂f/∂v)(∂v/∂y)
• Diferencial total: df(a,b)(h, k) = (∂f/∂x)(a,b)h + (∂f/∂y)(a,b)k
• Diferencial de segundo orden: d²f(a,b)(h, k) = (∂²f/∂x²)(a,b)h² + (∂²f/∂y²)(a,b)k² + 2(∂²f/∂x∂y)(a,b)hk
• Diferencial de tercer orden: d³f(a,b)(h, k) = (∂³f/∂x³)(a,b)h³ + (∂³f/∂y³)(a,b)k³ + 3(∂³f/∂x²∂y)(a,b)h²k + 3(∂³f/∂x∂y²)(a,b)hk²

Polinomio de Taylor

P(a,b) = f(a,b) + df(a,b)(x-a, y-b) + 1/2! d²f(a,b)(x-a, y-b)² + 1/3! d³f(a,b)(x-a, y-b)³

Derivada Direccional

D_(u₁,u₂) f(a,b) = lim_h→0 [f(a+h·u₁, b+h·u₂) - f(a,b)] / h = ∇f(a,b) · (u₁, u₂)

Extremos de Funciones

Extremos Relativos

1. Calcular puntos críticos: ∂f/∂x = 0 y ∂f/∂y = 0.
2. Evaluar la matriz Hessiana Hf(x,y).
3. Criterio de Sylvester:
   • Δ₂ > 0 y Δ₁ > 0: Mínimo local.
   • Δ₂ > 0 y Δ₁ < 0: Máximo local.
   • Δ₂ < 0: Punto de silla.

Extremos Condicionados (Multiplicadores de Lagrange)

F(x,y,z) = f(x,y,z) + λg(x,y,z) + μh(x,y,z)

Extremos Absolutos

1. Candidatos en el interior: ∇f = 0.
2. Candidatos en la frontera: Usar multiplicadores de Lagrange.

Integrales Múltiples

Integrales Dobles

• Tipo I: D = {(x,y) ∈ ℝ² | a ≤ x ≤ b, φ₁(x) ≤ y ≤ φ₂(x)}
• Tipo II: D = {(x,y) ∈ ℝ² | ψ₁(y) ≤ x ≤ ψ₂(y), a ≤ y ≤ b}
• Cambio a Polares: x = r cos θ, y = r sen θ, det(J) = r.

Integrales Triples

• Cilíndricas: x = r cos θ, y = r sen θ, z = z, det(J) = r.
• Esféricas: x = r cos θ sen φ, y = r sen θ sen φ, z = r cos φ, det(J) = r² sen φ.

Centroide

X̄ = (∫∫ x dA) / Area; Ȳ = (∫∫ y dA) / Area; Area = ∫∫ dA