Fundamentos de Cálculo Multivariable: Funciones Implícitas, Taylor y Optimización

Funciones Implícitas

Definición

Una función es **implícita** cuando una variable (ej. *x*) no está despejada explícitamente en términos de las otras variables. Se define *x* como una función implícita del resto de variables, por ejemplo, **x = f(y,z)**, a partir de una ecuación de la forma **F(x,y,z) = c** (o **z = f(x,y)**).

Hipótesis del Teorema de la Función Implícita (TFI)

Si se cumplen las siguientes hipótesis del Teorema de la Función Implícita (TFI), podemos definir *x* en función del resto de variables. El **dominio de definición de *f*** es Rⁿ++, abierto, y el punto (x₀,y₀) (dado) ∈ Rⁿ++.

1. I. Continuidad y Diferenciabilidad (Gradiente): Existen las **derivadas parciales** de F y son **continuas** en Rⁿ++, lo que implica que F ∈ C¹(Rⁿ).

2. II. Verificación en el Punto: F(x₀,y₀,z₀...) = c. La **ecuación se verifica en el punto** dado (x₀, y₀, z₀...).

3. III. Condición de No Anulación del Jacobiano: La derivada parcial de F respecto a la variable que se desea despejar (por ejemplo, ∂F/∂x si *x* = g(y,z)) debe ser **distinta de cero** en el punto (x₀, y₀, z₀...). Es decir, ∂F/∂x (x₀, y₀, z₀...) ≠ 0.

Tesis (Conclusiones del TFI)

1. I. Continuidad y Diferenciabilidad de la Función Implícita: La función implícita *g* es de clase C¹ (o C^k si F lo es) en una bola abierta B((x₀,y₀),r) alrededor del punto, es decir, *g* ∈ C¹ en B((x₀,y₀),r).

2. II. Verificación del Punto: g(y₀,z₀) = x₀. La función implícita pasa por el punto dado.

3. III. Satisfacción de la Ecuación Original: F(g(y,z), y, z) = c. La función implícita satisface la ecuación original.

4. IV. Derivadas Parciales de la Función Implícita: Las derivadas parciales de la función implícita se pueden calcular como:

   • Si *z* = f(x,y), entonces ∂z/∂x = - (∂F/∂x) / (∂F/∂z) y ∂z/∂y = - (∂F/∂y) / (∂F/∂z).

   Esto indica cuánto debe variar una variable (ej. *x*) para mantener la función *F* constante, dada la dependencia implícita.

Aplicaciones y Sensibilidad

Efecto Marginal (Variación en 1 unidad)

La variación aproximada de una variable (ej. *x*) ante un cambio de +1 unidad en otra variable (ej. *y*), manteniendo la función implícita constante, se calcula como: **- (∂F/∂y) / (∂F/∂x)**.

• Si el denominador (∂F/∂x) > 0, la relación es directa.
• Si el denominador (∂F/∂x) < 0, la relación es inversa.

Elasticidad (Variación en 1%)

Similar al efecto marginal, pero expresado en términos porcentuales. La **elasticidad** de *x* respecto a *y* (si *x* es función implícita de *y*) se calcula como: **(∂x/∂y) * (y/x) = (- (∂F/∂y) / (∂F/∂x)) * (y/x)**.

Concavidad y Convexidad de Funciones

1. 1. Dominio: Determinar el dominio de la función.

2. 2. Gradiente: Calcular el vector gradiente (primeras derivadas parciales).

3. 3. Matriz Hessiana y Clasificación: Calcular la **matriz Hessiana** (segundas derivadas parciales) y clasificarla:

   • Definida Positiva (DP): La función es **estrictamente convexa**.
   • Definida Negativa (DN): La función es **estrictamente cóncava**.
   • Semidefinida Positiva (SDP): La función es **convexa**.
   • Semidefinida Negativa (SDN): La función es **cóncava**.
   • Indefinida (IND): La función no es cóncava ni convexa.
   • Nula o Degenerada (ND): Si los criterios anteriores no son concluyentes (ej. determinantes nulos), se puede recurrir al **análisis de la forma cuadrática** asociada a la Hessiana.

Conjuntos Convexos

• Si las **restricciones son lineales**, el conjunto factible es **convexo** (representable en R²).
• Si una función *f* es **convexa**, los conjuntos de la forma {x | f(x) ≤ α} (conjuntos de nivel inferior) son **convexos**.
• Si una función *f* es **cóncava**, los conjuntos de la forma {x | f(x) ≥ α} (conjuntos de nivel superior) son **convexos**.
• La **intersección de conjuntos convexos** es siempre un **conjunto convexo**.

Tipos de Funciones

• G1: Lineales: f(x) = mx + b.
• G2: No Lineales: f(x) = x².
• G3: Trigonométricas: (ej. sen(x), cos(x)).

Representación Gráfica (Intuitiva)

• Un conjunto **convexo** puede ser visualizado como una forma donde, al unir dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento de recta que los une también está completamente dentro del conjunto (ej. un círculo completo).
• Un conjunto **no convexo** (a veces referido informalmente como "cóncavo" en este contexto) es aquel donde el segmento que une dos puntos del conjunto puede salir de él (ej. una forma de media luna).

Polinomio de Taylor

Fórmulas Generales

Para una variable:

• Grado 1 (Lineal): P₁(x) = f(a) + f'(a)*(x-a)
• Grado 2 (Cuadrático): P₂(x) = P₁(x) + (1/2!) * f''(a) * (x-a)²

Para dos variables:

• Grado 1 (Lineal): P₁(x,y) = f(a,b) + ∂f/∂x(a,b)*(x-a) + ∂f/∂y(a,b)*(y-b)
• Grado 2 (Cuadrático): P₂(x,y) = P₁(x,y) + (1/2) * [∂²f/∂x²(a,b)*(x-a)² + 2*∂²f/∂x∂y(a,b)*(x-a)(y-b) + ∂²f/∂y²(a,b)*(y-b)²]

Notación y Componentes

Para una función f(x,y) = n:

• Gradiente: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
• Matriz Hessiana (H_f):

  | ∂²f/∂x²   ∂²f/∂x∂y |
  | ∂²f/∂y∂x   ∂²f/∂y²  |

Cálculo de Valores Aproximados

Para calcular un **valor aproximado** de la función en un nuevo punto, se sustituye dicho punto en el **Polinomio de Taylor** calculado. La **variación** en el punto (K₀, L₀) (inicial) es de aproximadamente [...] unidades, lo que representa un aumento/disminución de [...] unidades monetarias (u.m.).

Plano Tangente

El **plano tangente** representa la aproximación lineal de la función en un punto (x,y,z).

• Forma 1: Sustituir el punto de tangencia en el Polinomio de Taylor de Grado 1.
• Forma 2 (Ecuación del Plano Tangente): f(x,y,z) = f(x₀,y₀,z₀) + ∇f(x₀,y₀,z₀) ⋅ (x-x₀, y-y₀, z-z₀).

Optimización: Máximos y Mínimos

Teorema de Lagrange (Condición Necesaria de Primer Orden)

1. I. Dominio Abierto: El dominio de la función debe ser un conjunto abierto en Rⁿ.

2. II. Funciones Continuamente Diferenciables: Las funciones objetivo *f* y las restricciones *g* deben ser de clase C¹(Rⁿ) (continuamente diferenciables), lo cual se cumple si son polinómicas (ej. f: 20x+5y=20, g: 20x+5y-20=0).

3. III. Formulación del Lagrangiano y Puntos Críticos:

   1. 1. Función Lagrangiana: L(x,y,z,λ) = f(x,y,z) + λ * g(x,y,z) (donde *g* es la restricción igualada a cero).

   2. 2. Sistema de Ecuaciones: Calcular las **derivadas parciales** del Lagrangiano respecto a todas las variables (x, y, z, λ) e igualarlas a cero para resolver el **sistema de ecuaciones** y hallar los **puntos críticos**.

Condición de Extremo Local (Segundo Orden)

1. I. Dominio Abierto y Convexo: El dominio debe ser un conjunto abierto y convexo en Rⁿ.

2. II. Funciones Continuamente Diferenciables: *f* y *g* deben ser de clase C¹(Rⁿ).

3. III. Restricción Lineal: La función de restricción *g* debe ser lineal.

Análisis de la Hessiana Orlada (o Hessiana de la Lagrangiana):

• Si la Hessiana (o Hessiana Orlada) es **Definida Positiva (DP)** en el punto crítico, se tiene un **mínimo local estricto**.
• Si la Hessiana (o Hessiana Orlada) es **Definida Negativa (DN)** en el punto crítico, se tiene un **máximo local estricto**.
• Si la Hessiana es **Indefinida (IND)**, **Semidefinida Positiva (SDP)** o **Semidefinida Negativa (SDN)**, el análisis es más complejo y generalmente indica un extremo local (no necesariamente estricto) o un punto de silla. En estos casos, se requiere un análisis adicional con la **forma cuadrática restringida** (ver siguiente sección).

Análisis con la Forma Cuadrática Restringida

Para un punto crítico (x*, y*) y una restricción lineal (ej. h₁ + 2h₂ = 0, donde (h₁, h₂) es un vector en el espacio tangente a la restricción en el punto crítico):

• Se obtiene la relación entre las *h* (ej. h₁ = -2h₂).
• Se construye la **forma cuadrática** de la Hessiana de la función objetivo (o de la Lagrangiana) evaluada en el punto crítico, utilizando las variables *h₁* y *h₂*.
• Se sustituye la relación obtenida (ej. h₁ = -2h₂) en la forma cuadrática.
• Si la forma cuadrática resultante es **Definida Positiva (DP)**, el punto es un **mínimo local estricto**.
• Si la forma cuadrática resultante es **Definida Negativa (DN)**, el punto es un **máximo local estricto**.

Teorema de la Envolvente

El **Teorema de la Envolvente** permite estimar la variación del valor óptimo de una función objetivo cuando cambia un parámetro de la restricción.

• Si la función objetivo es *f* y la restricción es *g(x,y) = a* (ej. x+2y=a), donde *a* es un parámetro.
• El valor óptimo *V(a)* (función del parámetro *a*) tiene una derivada respecto a *a* dada por: **dV/da = λ*** (donde λ* es el multiplicador de Lagrange óptimo).

Estimación de la Variación: Si la constante de la restricción aumenta de 20 a 24 (un aumento de 4 unidades), el valor óptimo de la función variará aproximadamente (24-20) * λ* unidades monetarias. El signo de λ* indicará si es un aumento o una disminución.

Conceptos Adicionales en Optimización

Viabilidad y Factibilidad

• Viabilidad: Se refiere a la existencia de soluciones que satisfacen las restricciones de un problema de optimización. En el contexto de la Hessiana, una matriz **Definida Positiva (DP)** puede estar relacionada con la convexidad de la función, lo que facilita la búsqueda de mínimos.
• Validez / Evitar Pérdidas: Para asegurar que una función (ej. de costes o beneficios) sea "válida" o no genere pérdidas, se busca que sea **convexa** (si se minimiza) o **cóncava** (si se maximiza), lo que se relaciona con la Hessiana siendo DP o DN, respectivamente.
• Factibilidad de la Producción: Un problema de producción es **factible** si existen combinaciones de insumos que satisfacen las restricciones y permiten la producción. Si en la forma cuadrática asociada a una función de costes hay términos positivos que no dependen de variables, o si solo hay variables elevadas al cuadrado con coeficientes positivos, esto puede indicar que los costes son siempre positivos o que la función es convexa.

Teorema de Weierstrass

El **Teorema de Weierstrass** es fundamental en optimización, ya que **demuestra la existencia de una solución** (máximo y/o mínimo global) para un problema.

1. 1. Definición del Problema y el Conjunto: Definir la función objetivo *f(x,y)* y el conjunto de restricciones *S* = {(x,y) ∈ Rⁿ : ...}.

2. 2. Verificación de Compacidad: Comprobar si el conjunto *S* es **compacto** (cerrado y acotado).

3. 3. Aplicación del Teorema: Si el conjunto *S* es **compacto** y la función *f* es **continua** en *S* (ej. el denominador no se anula), entonces, según el Teorema de Weierstrass, *f* **alcanza su máximo y mínimo global** en algún punto de *S*.

4. 4. Reducción de Variables (si aplica): Si es posible, despejar una variable de la restricción y sustituirla en la función objetivo *f* para reducir el número de variables.

5. 5. Búsqueda de Puntos Críticos: Derivar la nueva función (reducida) e igualar a cero para hallar los **puntos críticos**.

6. 6. Evaluación y Determinación de Extremos: Sustituir los puntos críticos (y los puntos de la frontera del conjunto, si aplica) en la función original para determinar cuáles maximizan o minimizan la función sujeta a las restricciones.