Fundamentos de Cartografía: Mapas, Proyecciones y Representación del Terreno

Conceptos Fundamentales de Cartografía y Topografía

Mapa

Representación convencional gráfica de fenómenos concretos o abstractos, localizados en la Tierra o en cualquier parte del universo. Es un esquema de la realidad, y su formación obedece a numerosos acuerdos y convenciones que deben conocerse para la interpretación de estos en el terreno. Existen mapas temáticos y topográficos.

Problemas del Mapa

Son dos y no existe solución total para ellos, pues todo mapa es una aproximación nada más:

1. Causado por las dimensiones de la superficie terrestre, que son mucho mayores que las que pueden emplearse. Esto conduce al concepto de escala: e = d_mapa / d_real.
2. La superficie de representación generalmente es plana, mientras que la terrestre no lo es. Tiene dos soluciones aproximadas: la representación del relieve y la proyección cartográfica.

Planos

Un plano es un mapa en que se representa una superficie suficientemente limitada como para que se haya prescindido de la curvatura de la Tierra y en el que se considera la escala como uniforme. A partir de 20 km no se puede considerar la Tierra plana, por lo que se harán correcciones a partir de 5 km. El plano y el mapa no son sinónimos; en el mapa se proyecta una curvatura que en un plano se hace tangente a la Tierra.

Superficies Auxiliares de Referencia

Representan la superficie terrestre con la mayor precisión posible, dentro de la sencillez: esfera, elipsoide de revolución, etc.

Escala del Mapa

Es la razón de semejanza entre un fragmento de superficie terrestre y otro de una superficie semejante. Las distancias entre puntos homólogos son proporcionales y los ángulos iguales. Es el cociente entre la distancia entre dos puntos en el mapa y la distancia horizontal en la proyección de estos dos puntos de la superficie terrestre correspondiente. El número que expresa el cociente se escribe en forma de fracción. Se elige la escala cuyo denominador sea múltiplo del numerador. La forma de expresar la escala viene influida por el sistema de medida utilizado. Conviene designar los mapas como de pequeña escala o gran escala, o planos.

Equidistancia

Distancia entre dos planos horizontales que cortan al terreno dando curvas de nivel. Es constante. Debe evitarse que dos curvas sucesivas se encuentren a menos de 0.5 mm. La equidistancia se escoge en función de la escala y el tipo de terreno; en terrenos abruptos la equidistancia es mayor que en terrenos llanos.

Error Planimétrico

Son muy pequeños. Se dan al considerar la Tierra como un plano. El límite de percepción visual del hombre está en 0.2 mm, por lo que no podemos distinguir objetos que estén en el mapa a menos de 0.2 mm. El error planimétrico (E_p) se calcula como: E_p = 0.2 · denominador de la escala.

Generalización

Simplificación del dibujo en los mapas. En la generalización se suelen perder formas: contornos de costas, fronteras; cuanto más pequeño es el dibujo, más necesario es suprimir detalles.

Símbolos Cartográficos

Cuando la generalización no es suficiente para solucionar problemas se usan símbolos. Son dibujos semejantes al objeto, pero que ya no lo representan a escala. Otras veces son dibujos con formas variadas, letras o números que indican el accidente geográfico. Los signos son símbolos que no usan letras o números, y son convencionales cuando hay un acuerdo para establecer su significado.

Superficie 5x5 y Sistema de Planos Acotados

Superficie 5x5: tipo de sistema de representación y problemas que ocasiona. El sistema de planos acotados se conoce por la posición planimétrica y la cota de ciertos puntos del terreno, por lo que se puede representar en un plano mediante curvas de nivel. Problemas: el terreno real no es geométrico. Será más expresivo cuantos más puntos acotados se haya empleado en su dibujo.

Representación de Superficies Geométricas

Las superficies más sencillas formadas por planos son las prismáticas y las piramidales. Sus curvas de nivel son segmentos rectilíneos equidistantes y las aristas son rectas que unen los extremos de esos segmentos. Las superficies topográficas pueden ser semejantes a superficies geométricas. Las superficies geométricas curvas tienen como isohipsas curvas geométricas tales como circunferencias o elipses.

Mapa de Curvas de Nivel, Pendiente Constante y Línea de Máxima Pendiente

En cada punto de la superficie hay tantas pendientes como secciones verticales se pueden trazar por él. Si queremos una línea de máxima pendiente dada, debemos hallar su módulo (intervalo) p = e · E / S_m (donde e es la equidistancia, E el denominador de la escala y S_m la pendiente en tanto por uno); y trazar desde ese punto un arco de circunferencia de radio igual a ese módulo hasta cortar la curva de nivel siguiente. Si el módulo de esa pendiente coincide con el del mapa, esa línea será la de máxima pendiente. Si no, puede cortar la curva por dos puntos, formando dos líneas de pendiente dada, o no cortarla, ya que su ángulo de inclinación será mayor que el del plano.

Curvas de Nivel en Pendiente Regular

Son rectas horizontales, paralelas y equidistantes.

Leyes de las Curvas de Nivel en Terreno Regular

• Las cotas de curvas sucesivas son números uniformemente crecientes o decrecientes.
• Las curvas de nivel no pueden cortarse ni coincidir.
• Todas las curvas cerradas tienen cota mayor (si es una elevación) o menor (si es una depresión) que las que las rodean.
• Todas las curvas son cerradas si se considera un mapa completo (aunque pueden salir de los límites del mapa).
• El número de extremos de curva cortados por el borde del mapa debe ser par.

Cambiar Plano de Proyección

Si la distancia entre el antiguo y el nuevo plano de proyección es múltiplo de la equidistancia, se suma o resta una cierta cantidad a las cotas de las curvas. En el caso contrario, se sustituye cada curva por una interpolada, lo que lleva siempre a error.

Tipos de Curvas de Nivel

Curvas Maestras

Curvas que se suelen dibujar más gruesas y que aparecen cada 4 o 5 curvas corrientes; por ejemplo, si la equidistancia es de 20 m, las curvas maestras corresponden a cotas múltiplos de 100 m.

Curvas Intercalares

Cuando el terreno tiene escasa pendiente, su forma queda mal definida por las curvas de equidistancia normal y se usan entonces otras curvas de equidistancia menor, con signo y trazos discontinuos.

Curvas Interpoladas

Se construyen a partir de las del mapa con el fin de auxiliar en algún problema concreto.

Geoide

Figura más aproximada a la forma real de la Tierra; es una curva cerrada e irregular que coincide con ella. Es una superficie teórica, equipotencial respecto a la fuerza de la gravedad y normal a esta. Es continua, cerrada y convexa. Para la determinación de su forma exige mediciones de la gravedad en numerosos puntos de la Tierra, lo que proporciona una superficie irregular. Sus secciones son curvas irregulares aunque aproximadamente circulares. La superficie geométrica que más se aproxima a la Tierra es el elipsoide, que se define mediante la longitud de sus radios.

Geodesia entre Dos Puntos

Distancia entre dos puntos siguiendo un círculo máximo, que será la distancia mínima entre ellos. Está referida al elipsoide. Dados dos puntos en el mismo meridiano, la circunferencia que los contiene tiene radio igual al radio de la Tierra: d = R · Δφ · π / 180 (donde R es el radio terrestre y Δφ la diferencia de latitud en grados).

Tipos de Norte

• Norte Verdadero (Geográfico): dirección del meridiano geográfico, hacia el Polo Norte geográfico.
• Norte de Cuadrícula (Norte UTM): dirección del eje de ordenadas (líneas verticales) de la proyección cartográfica. El ángulo entre el Norte Verdadero (NV) y el Norte de Cuadrícula (NC) es la convergencia de la cuadrícula o convergencia plana.
• Norte Magnético: dirección proporcionada por una brújula, hacia el Polo Norte magnético. El ángulo entre el Norte Verdadero (NV) y el Norte Magnético (NM) es la declinación magnética.

Superficie Reglada

Aquella formada por rectas, que se utiliza para definir el terreno entre dos curvas de nivel consecutivas. Se suele llamar zona a la superficie comprendida entre dos curvas de nivel. Teóricamente, su relieve real podría sustituirse por una superficie reglada que se apoyase en las curvas que limitan la zona.

Pendiente

Para cada sección vertical del terreno y en cada punto, existe una pendiente cuyo valor se expresa matemáticamente por el de la recta tangente en este punto de la sección: es la tangente del ángulo de inclinación de la recta tangente en ese punto.

Formas del Terreno

• Divisoria: línea de máxima pendiente subiendo y mínima pendiente bajando, partiendo de un punto de ella misma.
• Vaguada: dos líneas de máxima pendiente subiendo y una bajando.
• Ladera: línea de máxima pendiente hacia arriba y hacia abajo alineadas.

Tipos de Vertical

• Vertical Geodésica (Gran Normal): es la normal al elipsoide en un punto.
• Vertical de la Plomada: es la línea que toma la plomada, en función del campo gravitatorio local, y será independiente del elipsoide adoptado. La vertical geodésica y la de la plomada coinciden en el datum.
• Vertical Geocéntrica: línea que pasa por el punto A y el centro del elipsoide.

Coordenadas Geodésicas

Si las coordenadas llevan el signo adecuado, o bien vienen seguidas de la dirección (N/S, E/W), las coordenadas serán unívocas, pues solo definirán un punto de la esfera y no habrá equivocación. Las distancias siguiendo un paralelo no son geodésicas, pues los paralelos definen círculos menores. La distancia por un meridiano será geodésica, pues los meridianos definen círculos máximos cuyo radio es el de la Tierra.

Latitud

• Latitud Geodésica (φ): ángulo formado entre la gran normal (vertical geodésica) en un punto y el plano ecuatorial del elipsoide.
• Latitud Geocéntrica (ψ): ángulo que forma el radio vector del punto (línea desde el centro del elipsoide al punto) con el plano ecuatorial.
• Latitud Reducida (β): ángulo que forma el radio vector de un punto sobre una esfera auxiliar (utilizada en algunas proyecciones) con el plano del ecuador.

Longitud Geodésica (λ)

Ángulo formado por el plano del meridiano origen (Greenwich) y el plano del meridiano que pasa por el punto A.

Parámetros de la Elipse (Elipsoide)

Radio ecuatorial (semieje mayor), radio polar (semieje menor), aplanamiento, excentricidad.

Datum

Punto de tangencia o de mínima separación entre el elipsoide y el geoide, en el que la vertical de ambos coincide (o su separación es conocida y minimizada para una región). La desviación relativa de la vertical es 0 en ese punto. Ejemplo: Potsdam.

Convergencia

• Convergencia Plana (de la Cuadrícula): en la proyección UTM, es el ángulo que forma el Norte Verdadero (NV) y el Norte UTM (N_UTM) o Norte de Cuadrícula (NC).
• Convergencia de Meridianos: ángulo que forman las rectas tangentes a los meridianos en dos puntos.

Norte Verdadero y Norte UTM (en Proyecciones)

Norte Verdadero: dirección de la transformada del meridiano geográfico en un punto de la proyección. Norte UTM: dirección del eje de ordenadas (eje Y) de la proyección UTM. El ángulo que forman entre ellos es la convergencia plana.

Esquema de Proyecciones Planas

Según la posición del vértice de proyección (proyecciones perspectivas):

• Proyección Gnomónica o Central: vértice en el centro de la Tierra.
• Proyección Estereográfica: vértice en un punto de la superficie terrestre, opuesto al plano de proyección.
• Proyección Escenográfica: vértice en un punto exterior a la Tierra, a una distancia finita.
• Proyección Ortogonal u Ortográfica: vértice en el infinito (rayos de proyección paralelos).

Según la posición del plano tangencial (o secante):

• Polares o Ecuatoriales (Axiales): plano tangente (o cilindro/cono con eje) a un polo o al ecuador. Para proyecciones acimutales, el plano es tangente a un polo (polar), al ecuador (ecuatorial).
• Meridianas o Transversales: plano tangente (o cilindro/cono con eje) a lo largo de un meridiano o perpendicular al ecuador.
• Oblicuas u Horizontales: plano tangente (o cilindro/cono con eje) a cualquier otro punto terrestre distinto o con una orientación oblicua.

También existen proyecciones geométricas analíticas (no perspectivas, definidas por formulación matemática).

Sistema de Coordenadas de la Proyección UTM

La proyección UTM emplea cilindros transversos secantes. La Tierra se divide en 60 husos de 6° de longitud cada uno. Cada huso utiliza un sistema de coordenadas propio. Dentro de cada huso, se toma el eje Y (Norte UTM) como paralelo al meridiano central del huso, y con origen de abscisas (coordenada X o Este) a 500,000 m al Oeste de dicho meridiano central (falso Este), para evitar abscisas negativas. El origen del eje X (Este UTM) está en el meridiano central. El origen del eje Y (Norte UTM) en el Hemisferio Norte (HN) es el ecuador (0 m). En el Hemisferio Sur (HS), para evitar coordenadas Y negativas, el ecuador tiene un valor de 10,000,000 m (falso Norte).

Proyección UTM (Universal Transversa de Mercator)

Se basa en una proyección cilíndrica transversa. Es una proyección conforme. Considera a la Tierra como un elipsoide de revolución (actualmente WGS84, históricamente otros como Hayford). Su universalidad se logra utilizando un sistema de 60 husos, cada uno de 6° de longitud. Cada huso emplea un cilindro diferente, secante al elipsoide. (Nota: el texto original menciona 30 cilindros, lo cual es inusual; típicamente se describe como un cilindro por huso o un modelo matemático que lo simula). En cada proyección de huso, solo el meridiano central de ese huso y las líneas perpendiculares a él (que no son el ecuador, excepto en su intersección) aparecen como rectas. Los meridianos centrales de los husos están en longitudes de 3°, 9°, 15°, etc., al Este u Oeste del meridiano de referencia del huso. Los husos se numeran del 1 al 60 desde el antimeridiano de Greenwich (180°) hacia el Este. Greenwich (0° longitud) separa los husos 30 y 31.

Anamorfismo (Deformaciones)

Es imposible que se conserven las tres dimensiones reales (ángulos, áreas, distancias) simultáneamente al proyectar una superficie curva sobre un plano, por lo que la representación de una superficie terrestre tendrá anamorfismos o deformaciones. Hay tres tipos principales de deformación:

• Lineal: módulo de deformación lineal m = L’/L (donde L’ es la longitud proyectada y L la longitud real). Si m=1, la línea es automecoica (conserva la longitud). Si m=constante en todas direcciones desde un punto, la proyección es isométrica en ese punto (no globalmente).
• Angular: diferencia entre el ángulo (A) que forman dos líneas en el terreno y el ángulo (a’) entre sus proyecciones. Si A=a' en todo punto, la proyección es conforme.
• Superficial: relación entre el área proyectada (S’) y el área real (S). Si S’/S = constante (idealmente 1), la proyección es equivalente o equiareal.

Cada sistema de proyección tiende a eliminar o reducir alguna de las anamorfosis; ninguno las elimina todas.

Clasificación de proyecciones según la dimensión conservada:

1. Proyecciones Equidistantes: Conservan las distancias a lo largo de ciertas direcciones espaciales (e.g., desde un punto central, o a lo largo de los meridianos). Las líneas donde se conservan las distancias se llaman automecoicas.
2. Proyecciones Conformes (Ortomórficas): Conservan los ángulos del terreno. Las curvas en la esfera se cortan en ángulos iguales que sus representaciones. Son muy usadas en navegación.
3. Proyecciones Equivalentes (Equiareales): Conservan las áreas del terreno, aunque las figuras (ángulos y distancias) se deformen. Usadas en operaciones catastrales, mapas temáticos de distribución, etc.
4. Proyecciones Afilácticas: No son conformes ni equivalentes ni estrictamente equidistantes, pero intentan minimizar todas las deformaciones o lograr un compromiso entre ellas. Los mapas topográficos nacionales suelen ser de este tipo o conformes.