Conducción de calor en régimen estacionario: Ley de Fourier y resistencia térmica

Transmisión de Calor por Conducción en Régimen Estacionario y Flujo Unidireccional

La conducción es el único mecanismo de transmisión de calor posible en los medios sólidos opacos cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura. El calor se transmite de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura.

El calor transmitido por conducción ($Q_k$) es proporcional al gradiente de temperatura ($\Delta T / \Delta x$) y a la superficie ($A$) a través de la cual se transfiere.

Ley de Fourier de la Conducción

El flujo real de calor depende de la conductividad térmica ($K$), que es una propiedad física intrínseca del cuerpo. La Ley de Fourier se expresa en su forma diferencial:

$$Q_k = -K A \frac{dT}{dx}$$

Donde el signo negativo indica que el flujo de calor ocurre en la dirección del gradiente de temperatura decreciente.

Conducción a Través de una Pared Plana Simple

Una aplicación inmediata de la Ley de Fourier corresponde a la transmisión de calor a través de una pared plana, asumiendo que las superficies se encuentran a temperaturas diferentes ($T_1$ y $T_2$). El calor fluye únicamente en dirección perpendicular a las superficies.

Si la conductividad térmica ($K$) es uniforme, la integración de la ecuación anterior para un espesor $L$ resulta en la siguiente expresión para el flujo de calor total ($Q_k$):

$$Q_k = \frac{K A}{L} (T_1 - T_2)$$

Concepto de Resistencia Térmica

Esta expresión se puede reescribir utilizando el concepto de resistencia térmica ($R_t$), donde $R_t = L / (K A)$:

$$Q_k = \frac{T_1 - T_2}{R_t}$$

Conducción a Través de Paredes Planas en Serie

Si el calor se propaga a través de varias paredes en buen contacto térmico (capas múltiples), el flujo de calor ($Q_k$) en estado estacionario debe ser el mismo a través de todas las secciones. En un sistema de tres capas, por ejemplo, los gradientes de temperatura son distintos en cada material.

El calor transmitido se puede expresar para cada sección individualmente, utilizando la resistencia térmica específica de esa capa ($R_{t,i}$):

• Capa 1 (entre $T_1$ y $T_2$): $Q_k = \frac{T_1 - T_2}{R_{t,1}}$
• Capa 2 (entre $T_2$ y $T_3$): $Q_k = \frac{T_2 - T_3}{R_{t,2}}$
• Capa 3 (entre $T_3$ y $T_4$): $Q_k = \frac{T_3 - T_4}{R_{t,3}}$

El flujo de calor total a través del sistema completo se calcula sumando las resistencias térmicas individuales:

$$Q_k = \frac{T_1 - T_4}{R_{t,1} + R_{t,2} + R_{t,3}}$$

Analogía Eléctrica de la Conducción Térmica

La analogía entre el flujo de calor y la electricidad es una herramienta poderosa que permite extender el estudio de la transmisión de calor por conducción a sistemas más complejos, utilizando conceptos desarrollados en la teoría de circuitos eléctricos.

Si la transmisión de calor se considera análoga al flujo de electricidad, se establecen las siguientes equivalencias:

• Flujo de Calor ($Q_k$) es análogo a la Corriente Eléctrica ($I$).
• Diferencia de Temperaturas ($\Delta T$) es análoga a la Diferencia de Potencial o Voltaje ($\Delta V$).
• Resistencia Térmica ($R_t = L / (K A)$) es análoga a la Resistencia Eléctrica ($R$).

Por lo tanto, la ecuación de conducción se puede escribir en una forma semejante a la Ley de Ohm:

$$Q_k = \frac{\Delta T}{R_t}$$

Esta simplificación es fundamental para el cálculo de sistemas de múltiples capas o geometrías complejas.